指数関数の連続性はどのようにして示されますか？

指数関数の連続性はどのようにして示されますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/10 13:18

指数関数をどうやって定義したかによります。

高校の教科書の方法では、
e^(有理数) を指数法則が成り立つように定義し、
e^(実数) を有理数での値を保ったまま連続な関数
として定義するのですから、連続であることは自明
(定義の一部)です。

他のやり方として、対数を log x = ∫[1,x](1/t)dt,
指数を y = log x ⇔ x = e^y で定義する方法もあります。
この場合、積分で与えられた log が連続なのは当然。
その逆関数である指数関数も連続になります。

その他にも、e^x = ∑[n=0→∞]x^n/n! で定義する
やり方も有名ですね。この場合、冪級数は収束円内で
連続であることが一般的に証明できます。
指数関数を定義する方法は、他にもいくらでもあります。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/11/10 08:56

lim[x→c]e^x=e^c

であることを示せばいい。

こんなのとか
https://www.nick97.com/entry/epsilon-delta-9