磁場と仕事の関係について 固定された棒磁石に鉄球が吸い寄せら加速する現象を想定します。 この現象は、

磁場と仕事の関係について

固定された棒磁石に鉄球が吸い寄せら加速する現象を想定します。

この現象は、棒磁石による磁場が仕事をして鉄球の運動エネルギーが増したと考えれば良いのでしょうか？

それとも、この現象の源はミクロのレベルではローレンツ力でありローレンツ力は仕事をしないので、棒磁石による磁場は仕事をしていないと考えれば良いのでしょうか？

前者であった場合、
・磁石がした仕事のエネルギーはどこから来たのか(どのエネルギーが減少したのか)？
という疑問に至ります。

一方で、後者であった場合、
・鉄球が得た運動エネルギーはどこから供給されたのか？
・磁場の向きと平行にローレンツ力が働くことはないので説明がつかない。
という疑問が浮かびます。

あるいは、どちらも誤りであった場合、鉄球が得た運動エネルギーの源はどの様に説明出来るのでしょうか？

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 「ローレンツ力は仕事をしない」を「ローレンツ力の磁場による磁場による項は仕事をしない」に訂正します。

  
    補足日時：2021/12/04 20:31

No.9 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/08 08:01

>重心運動エネルギーを考えると、衝突前後でmv²→0と変化し、それは唯一の外力である壁との仕事のやり取りによる、ということでしょうか？

まぁそうなります。

「仕事をしたのは壁だけど、エネルギーの移動は相対運動と重心運動の間でされる」
と思っても良いし
「重心運動→壁→相対運動とエネルギーが移動している」
と思ってもどちらで解釈しても良いとは思いますが、壁の質量が有限の時など他の場合との整合性をとりやすそうなのは後者ですかね。
後者の見方だと、#4さんの最後の話の意図が分かるでしょう。(壁にエネルギーは残らないけど、壁を通して伝わる)



>そうだとすると、重心運動エネルギーは減っているので、壁は物体系に仕事をしたのでなく、物体系から仕事をされたというお考えでしょうか？
負の仕事をしても良いので、する/されるはあまり区別せずに書いてたかもしれません。

この回答へのお礼

再々のご回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/12/08 22:17

No.8 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/07 19:50

仰っている事は間違ってはいないけど、A+Bを一つの物体とみるというのは要は重心の動きだけ見るという事です。

ニュートン力学の初期に個々の質点の運動方程式を足し合わたものが重心の運動方程式で、作用反作用の法則から内力起因の力は打ち消しあう事を習ったはずです。

AとBを一つの物体として見ている時に内力であるバネの話はどこにも登場する余地はありません。出てくるのは物体の変形(今は２質点なので相対運動)を考えた時です。



なので、#7のお礼にお書きの事は一つの物体と思ってる時には次のようになります。

>衝突直前のA+Bのエネルギーは2x(¹/₂mv²)=mv²
重心速度はvなので重心の運動エネルギーは2mv^2/2=mv^2です。

>衝突直後のBの速度はv、Aの速度は(弾性衝突なので)-v。従って、衝突後の運動エネルギーはやはりmv²。
>衝突直後はバネは未だ自然長なのでバネの弾性エネルギーは0。従って、全エネルギーはmv²で変わりません。

重心の速度は0なので重心の運動エネルギーは0です
重心の運動方程式にバネ定数は登場しないので弾性エネルギーは0です。


>その直後、Aが-v、Bがvの速度で動くためバネが縮み始め、
重心の速度は0から変わりません。重心の運動エネルギーは0のままです。
バネがないので弾性エネルギーは0です。

>つまり、A+B全体のエネルギーは終始一定です(その後の動きはのことは省略します)。
重心の運動エネルギーは変化したので、少なくとも何かから仕事をされたと考える事になります。今は外力は壁から受ける力しかないので、仕事をしたのはこれしかありません。(消去法で決める話ではありませんけど)


相対運動についても考えれば、重心の運動エネルギーの変化と同じ大きさ(符号は逆)だけ、相対運動の力学的エネルギー(バネの弾性エネルギーはここに含まれる)が変化している事が言えます。
だから、壁から仕事をされたからと言って壁側のエネルギーが変わるような事はないし、系全体の全力学的エネルギー(重心の運動エネルギー+相対運動の運動エネルギー+弾性エネルギー)も保存されています。貴方が考えている事と齟齬はないはずです。

この回答へのお礼

再びありがとうございます。

重心運動エネルギーを考えると、衝突前後でmv²→0と変化し、それは唯一の外力である壁との仕事のやり取りによる、ということでしょうか？

そうだとすると、重心運動エネルギーは減っているので、壁は物体系に仕事をしたのでなく、物体系から仕事をされたというお考えでしょうか？

お礼日時：2021/12/07 22:46

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/07 08:42

Aは壁に接触している間は動かないという状況を想定してるかならその例でも構いませんよ。

　

Aの速度とA+Bの重心の速度は一般には異なるので、Fとの内積も一般には異なりますよね。要はA+Bにする仕事を考える時には、個別に考えている時にバネ(内力)を介してBがされる仕事も加味する事になるのでこれが0になるとは限らないという事ですね。

この回答へのお礼

再度ご回答ありがとうございます。

はい。動かない壁に剛体が接触しているのですからAはその間は動きません。

この現象で、A+Bに対して壁がエネルギーを与えるという解釈は大変理解に苦しみます。


私の理解は以下の通りです。

衝突前のA, Bの質量と速度を共にmとv、また衝突前にバネは自然長で単振動しておらず、弾性衝突という単純な状況を想定します。

衝突直前のA+Bのエネルギーは2x(¹/₂mv²)=mv²

衝突直後のBの速度はv、Aの速度は(弾性衝突なので)-v。従って、衝突後の運動エネルギーはやはりmv²。衝突直後はバネは未だ自然長なのでバネの弾性エネルギーは0。従って、全エネルギーはmv²で変わりません。

その直後、Aが-v、Bがvの速度で動くためバネが縮み始め、バネ定数をkとすると¹/₂kx²=mv²を満たすxの縮みがAB間の最短距離となる単振動を初めます。単振動なのでABの運動エネルギーとバネの弾性エネルギーの総和は一定値mv²です。

つまり、A+B全体のエネルギーは終始一定です(その後の動きはのことは省略します)。

一方で運動量を見ると、衝突前は2mv、衝突後はAが-mv、Bがmvなので全体では0。つまり一体としての重心の速度はvから0へかわります

つまり、全体のエネルギーは変わらずに重心の速度が変わります。

力積に触れておられますが、力積は運動量に影響をもたらすものでエネルギーと直接の関係はありません。力積が働いていてもエネルギーが保存する状況はよくあることです。単純な例は静止した壁に弾性衝突で衝突する球です。力積を受け速度は逆向きになりますが、運動エネルギーは一定で壁からは全くエネルギーを受けていません。

お礼日時：2021/12/07 10:45

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/06 21:30

例えばAとBがバネで繋がっていて、Aに力Fを加えたとします。

FがAにした仕事
(AとBを一つの物体A+Bと見た時の)FがA+Bにする仕事
は別物だと言ってるのですが、この点は分かりますか？


あまり練られた例ではないですが、「拘束力は仕事をしない」という話があります。

Aが摩擦のないレールに固定されていて拘束力をFとすれば、Fはレールに直交しAの移動方向はレールに平行なので、FがAにする仕事は0です。確かに拘束力は仕事をしてはいません
あらわに書かなかっただけで、レールに直交する方向にBが振動しているとしても話は変わりません。

このBが振動している時の現象をAとBを一つの物体として見る事にします。
この場合A+Bが受ける力はFで、それに平行な方向に重心が動いています。よって、「FがA+Bに仕事をした」と考える事になります。

さてFは拘束力だったはずです。この話は「拘束力は仕事をしない」という話と矛盾する事を言っているのでしょうか？

ご質問の話とは
A→電子
B→原子核
F→ローレンツ力
A+B→導体
バネ→クーロン力
と対応しています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

AとBがバネで繋がっていて、力Fが「Aにする仕事」と「一体とみA+Bにする仕事」が別物というのが理解出来ませんでした。

単純な例として、バネで繋がったA+Bが(バネと平行の向きにAが)壁に弾性衝突してはね返ったとき、壁はAには仕事をしないがA+Bは重心が移動するからA+B全体には仕事をしている、ということとは違う内容ですよね？この例では壁はあらゆる意味で仕事をしていませんから。

お礼日時：2021/12/06 23:51

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/05 22:12

ローレンツ力が何にする仕事を考えているのか意識した方が良いかと思います。

0になると言ってるのは個々の電子(電荷)にする仕事。
0でないのは導線や導体棒にする仕事です。

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。

磁場が導体にする仕事の正体は電荷に対するローレンツ力なので、「電荷に仕事をせず導体に仕事をする」の理解に苦しんでおります。

なお、磁場が導体棒に仕事をしないことの私の理解(電磁力による仕事率(Bil•v)と誘導起電力による仕事率(Bvl•i)の符号を加味した和が常に0)は先程のお礼の添付の内容の通りです。

もちろん荷電粒子レベルでも磁場は、棒の移動に対し(棒の移動と垂直の方向の)起電力を生み、電流に対し(電流の向きと垂直の方向の)力を生むので、いずれも仕事はしないと理解しております。

お礼日時：2021/12/06 10:42

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/12/05 14:09

導体棒の問題でもでも棒はローレンツカでエネルギーを得ますよね。

自動車もエンジンからのエネルギーは殆ど車体へ
伝わり車輪にはあまり残らない。

エネルギーの伝達の媒介となるものに力は伝わるが
エネルギーは残らなくとも
エネルギ―が伝わる場合があるということです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

導体棒の問題でもローレンツ力(の磁場の項)は仕事をしないと理解しておりました。添付の説明が私の理解と同じですが、真偽は不明です。
https://physicmath.net/449/

一般に磁場によるローレンツ力は常に運動方向と垂直なので仕事をしないと考えるものと思っておりました。

お礼日時：2021/12/05 19:21

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/04 18:25

ローレンツ力は速度と直交するので、ローレンツ力がする仕事(力と速度の内積)は0というのが話のベースですよね。

磁場勾配や磁性体が登場するのは本質ではなく話を複雑にするだけなので、

まずは「直線電流がそれに直交する一様磁場から力を受けて動く」という現象から考えて見た方が良いだろうと思います。(導線が動いたらそれは導線が仕事をされた事を意味するので同様の疑問に出くわすはずです)

この例だと磁場(と電流)がホール電場を作り、このホール電場が導線中の原子核に仕事をしている形になるので、「ローレンツ力が仕事をしない」という話と整合性は取れてはいますよね。

上の話だけだと、鉄球の件と結びつけられない気はしますが、とっかかりとしてはこんな所かな、と。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

導線と磁場の関係については、真偽は不明ですが添付と同じ理解をしておりました。

https://physicmath.net/449/

その上で、鉄球の状況を考え始めたのですが未だ理解が及んでおりません。

お礼日時：2021/12/05 19:25

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2021/12/04 17:14

> 棒磁石による磁場が仕事を…したと考えれば良いのでしょうか？

そうです。

> ローレンツ力は仕事をしないので、
そんな言われは有りません。
○○力、という名前の通り、仕事の基になるので「力」なのです。

> ・磁石がした仕事のエネルギーはどこから来たのか
鉄の棒が磁化されて、磁力と言うエネルギーが蓄えられています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ローレンツ力の磁場による項は仕事をしないという意図でした。

お礼日時：2021/12/04 20:34

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2021/12/04 16:56

単純に「磁石の磁場が仕事をした」で問題ないはずですが、そもそも「ローレンツ力は仕事をしない」と考えられた根拠は? そう考えなければならない理由なんてないはずですし、実際ウィキペディアにはローレンツ力がする仕事を表す式が記載されています。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ローレンツ力の磁場による項は仕事をしないという意図でした。

お礼日時：2021/12/04 20:34