統計学です

ある魚の体長の母集団は母平均が 40mm の正規母集団とわかっている。
このとき、観測した 5 匹の体長が、38mm、36mm、40mm、42mm、43mm であった。母分散の 95% 信頼区間を求めよ。
教えていただけませんか？

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/02 11:09

ヒント。

母分散と標本分散の比は「カイ二乗分布」します。

やり方はこんなサイトを参考に。当然、お使いのテキストにも載っていると思いますけどね。
↓
https://bellcurve.jp/statistics/course/9212.html

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 14:38

#1さんの示されたページに従うと間違えます。

２つのケースがありますので、キチンと書いておきます。

母集団N(μ，σ^2)から得られたｎ個のサンプルについて、母分散で基準化した偏差平方和　S/σ^2　は　χ^2　分布に従います（言い換えれば標準正規分布の分散はχ^2分布に従うということです）。ただし、

①χ^2＝Σ(xi－μ)^2／σ^2、は自由度ｎのχ^2分布に従い、

一方、母平均が未知の場合、サンプル平均ｍを用いて、

②χ^2＝Σ(xi－m)^2／σ^2、は自由度ｎ－1のχ^2分布に従います。

このどちらを使っても下記のごとく解けます。

χ1^2　＜　S/σ^2　＜　χ2^2
より、
S/χ1^2　＜　σ^2　＜　S/χ2^2

今回のケースは、母平均μが既知なので①のごとくμを使って偏差平方和Sを求める点と、自由度が５となる点にご注意下さい。

QC検定に出るような引っ掛け問題です。どちらのケースかを間違えないことが重要ですね。

参考図書（メーカー技術者のバイブルのような本）
鐵健司（1977）「品質管理のための統計的方法入門」日科技連出版，pp70-74

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 14:59

#2です。

２乗値なので有効桁数は４桁です。

解は、2.572　＜　σ^2　＜　 39.70

計算過程

S ＝ 33 これをサンプル平均39.8を使って計算してはいけません。

χ^2(0.025, 5) ＝ 0.8312116
χ^2(0.975, 5) ＝ 12.8325

S/χ^2(0.975, 5) ＝ 2.571595
S/χ^2(0.025, 5) ＝ 39.70108

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 15:57

ちなみに、サンプル平均を使って算出すると、

2.943　＜　σ^2　＜　67.71

かなり違いますね。こちらは正解ではありませんからご注意を。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2022/02/02 18:31

No.1 です。

#2 さんの指摘のとおり、リンク先の「母平均が未知の場合」を使うと誤りますね。

お示しの問題の場合には「母平均が既知」なので、#3 のやり方ですね。
混乱させて申し訳ありません。

ついでに、その「違い」を理解してください。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 20:49

#5さんの補足です。

リンク先の一番下に、「22-1．カイ2乗分布」へジャンプするボタンがあります。

#2に書いた「母平均μが既知」「母平均未知」の違いは、そこにしっかり書いてありますね。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 21:05

ついでに、

・リンク先「22-1．カイ2乗分布」の本文では、不偏分散はスモールsの２乗と書いてあり良いのですが、式中のｓはどう見ても大文字に見えます。大文字ではありませんのでご注意ください。

ラージＳは偏差平方和、スモールｓは標準偏差（不偏分散の平方根）です。


・社内でも、信頼区間の不等号にイコールを付けるのか付けないのか、質問される方がみえますが、どっちでも良いです。

なぜなら、連続分布において、定点の存在確率は０（確率は密度曲線の面積（積分値）だが、定点での密度曲線の面積は０）だからです。

よって、イコールを付けても付けなくても95％という値は変わりません。

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/02/02 21:37

じゃあ、閾値ピッタリの値が出たらどうするのか？と食い下がったヤツがいました。

講師は、そんなときは信頼区間外としろ、つまり安全側で考えろ、と言っていました。（安全側とは：それを安易にOKだと判断することなく異常値として処置しろということ）

これはもう企業文化なので、ご質問者は先生のやり方に従って下さい。郷に入れば郷に従えです。