数学の体系

Question

数学の体系を次のように考えていますが、
どのような体系がいいですか
できるだけ整理したいのですが
よろしくお願いします　mm(__)mm

______________
数学より基礎部分
　哲学 
　超数学　etc
______________
数学の部分
　論理学
　集合論
　位相空間論
　代数学(群・・加群、体)
　　加群→線型代数
　実数論
　　連続の公理・定理の関係
　　数ベクトル(ex 複素数、四元数)
　　行列としての数ベクトル
　実数列・級数の理論
　実関数の理論

　位相幾何学
　微分・積分
　微分幾何学

　確率論
　　確率分布
　　確率過程
　関数解析
　　バナハ・ヒルベルト空間→関数空間

　関数方程式・微分方程式



こうやってみると、数学の体系もまだまだ整理する余地があると思います

yoh001 · Accepted Answer

おはようございます。
ここに、飛んできました。
はてさて・・・、僕には、解らない世界です。

>(宗教的な観点に基づくなど)数学のあるべき
についての考えを・・

ということですが、
書かれている「超数学」は僕にはイメージ出来ませんので、
「超科学」と置き換えて考えてみたいと思います。

まずまず・・・、
学問の目的は、
事物の相互関係、相互依存の理を学び、
理性をより啓発することにあると思います。
理性が高度に発揮されると理念にまで高められますが、
そうなると、全ての事象に対して、
統一的、創造的、関連的、秩序的に理解がおよぶわけです。
それがそのまま、
人間を含む全ての生命への貢献にもつながるのでしょう。

ところが、数学に限らず、地球上で発達してきた学問は、
あまりにも分割され、なおかつ複雑化、細分化されてきたため、
頭脳は、細部を記憶し思考するために使われ、
巨視的に全体像をみる能力が阻害され、
理性の啓発が阻害されてきたわけです。
その為、
宇宙の諸法則の発見が出来なくなっていると思われます。

そこで、これからの学問、特に科学は、
学問のための学問や、実効のない分野は、
惜しみなく大なたを振るって捨て、
ある程度、人間が一生涯かけて学べるほどに
統合化すべきだと思います。

さて、問題の「超科学」ですが、
キーワードは「意識」にあると思います。
物質の根源には、意識が大きく関与しているということです。
理論物理学の最先端ではもう気付きかけていると思われます。
湯川博士も
「素粒子の奇妙なふるまい」として感じておられたようです。

足立育郎という方が、宇宙からのメッセージとして、
中性子＝「意識」、陽子＝「意志」
ということから
（僕が感ずる限り）美しく精密な理論展開をなされており、
この理論は、
物質と精神の統合のための橋渡し役になるものだと思います。
相対性理論や量子論の矛盾も解消されると思います。
しかし、まだまだ、
正統な学会からは鼻にもかけてもらえないでしょう。

２１世紀は、天動説が地動説に代わった時を凌ぐ、
大きなパラダイム変換の時を迎えつつあると思います。

adinat · Answer

僕もそういう分類は興味深いと思ったこともありますが、数学をやればやるほど、（分類をする）人が増えれば増えるほどますますこの問題は解決不能な方向に進んでいきそうな気がします。動機を明確にすることが体系化のひとつの方向性を与えるのではないでしょうか。たとえば僕が無限次元解析を勉強したいと思っていたとして、そこで関数解析（特にヒルベルト空間、あるいはバナッハ環[代数]）を勉強することになったとして、その意味で素朴集合論や、線形代数はこの土台になるだろうし、線形代数などは有限次元関数解析と名前を変えたいと思うぐらいです。

あるいは数理物理方面へ興味があって、素粒子論なんかを学ぼうと思っていれば必然的に群論を学ぶことになりますが、そこで出てくるのはリー群やリー環です。これらはそもそも対象が代数（群としての構造）と幾何（多様体）としての構造を持っていて代数や幾何といった大分類もできません。かといって代数幾何というと代数曲線の幾何学を指すことが多いから代数幾何もマッチしない。

1つは万人を納得させえるような体系を僕が例示できないということが原因なんですが、複雑に入れ子になって現代数学は成り立っていますし（もちろんたとえば集合論などはほぼありとあらゆる数学の基礎になっているし、微積分なんかもそういう要素はあると思います）今でも新しい対象が生まれていると思うので、手当たり次第を列挙して分類というのはあまりよい方向ではないのではと思ってしまいます。

個人的には数学は境界領域が一番面白いと感じます。たとえば一枚の紙を用意して、大きな正三角形を描いてその各頂点に大きな丸を描き、その中に代数、幾何、解析と書いてみる。そしてそれらから派生している小分野を適当な位置においてみる。強く関連している分野同士はたとえば太い線で結んで見る。そういうような相互関連という観点から分類を試みる方が、縦割り方式の分類よりはより実感に近いものができるよう思えたりします。

superjapan · Answer

次のような分類もコンパクトでいいんじゃないですか？

【数学】
　■純粋数学
　　　□代数学
　　　□幾何学
　　　□解析学
　■応用数学
　　　□統計解析
　　　□微分方程式
　　　□フーリエ解析
　　　□数値解析
　　　□変分法
　　　□変分法
　　　□ベクトル解析
　　　□複素関数論

数学の体系

おはようございます。

僕もそういう分類は興味深いと思ったこともありますが、数学をやればやるほど、（分類をする）人が増えれば増えるほどますますこの問題は解決不能な方向に進んでいきそうな気がします。

次のような分類もコンパクトでいいんじゃないですか？

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