内田伏一著 集合と位相 例19.2

A={(x,y) ϵR^2|x*y=1}は積空間R^2の閉集合である、と書かれていますが、その理由は１点集合{1}ϵRが閉集合であるということ、および関数f(x,y)=xyが連続であるということだと思います。連続であるという証明をどうしたらできるのかがわかりません。１次元ユークリッド空間Rにおけるε近傍(r-ε,r+ε)のfによる逆像はR^2上で開集合である、ということを言えば良いと思うのですが。どなたかお教えいただければありがたく思います。

質問者からの補足コメント

• matrajcp様,endlessriver様
  私の質問にご返信いただき、ありがとうございました。後になって気づきましたが例19.2において積空間R^2の部分集合A={(x,y) ϵR^2|x*y=1}が閉集合であることを証明するためには、Aから{1}∊Rへの写像を使わずとも、下記のような簡単な方法でよかったのではと考えました。
  p61の記法にしたがって任意の点(x,y)∉Aに対してAとの距離をd((x,y),A)と書くとd((x,y),A)>0。ここで0<ε< d((x,y),A)と取ればN((x,y)；ε)⋂A=∅だからこのような点はAの触点ではなく、Aの触点はAの点のみである。したがってAの閉包=AとなってAは閉集合である。
  恐れ入りますが、これが問題ないかコメントいただければありがたく思います。

    補足日時：2022/02/26 20:47

• matrajcp様,endlessriver様
  私の質問に再びご返信いただき、ありがとうございました。
  P61の記法に従い,(a,b)∊A,(x,y)∉Aとしてd((x,y),A)=inf{d((x,y),(a,b))|a*b=1,x*y≠1}
  =inf{√((a-x)^2+(b-y)^2)|a*b=1,x*y≠1}と表してみるとd((x,y),A)>0は私も自明である気がしますが、Aの内容によってはmatrajcp 様が出してくださった詳細な証明が必要なのかな?と思いました。いずれにしろ私の方向は正しかったことがわかりまので安心しました。時間を割いていただいたことに深く感謝もうしあげます。KojiroSasaki

    補足日時：2022/02/27 11:41

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/25 21:31

r∈R

r=ab とする

ε>0に対して
f^(-1)(r-ε,r+ε)
={(x,y)∈R^2||f(x,y)-r|<ε}
={(x,y)∈R^2||xy-r|<ε}

δ=ε/(2+ε+2|a|+2|b|)
U(a,b,δ)={(x,y)∈R^2|√(|x-a|^2+|y-b|^2)<δ}
とすると
任意の(x,y)∈U(a,b,δ)に対して
|x-a|≦√(|x-a|^2+|y-b|^2)<δ
|y-b|≦√(|x-a|^2+|y-b|^2)<δ
|x|<|a|+δ<|a|+1

2(|a|+1)<2+ε+2|a|+2|b|
(|a|+1)/(2+ε+2|a|+2|b|)<1/2
(|a|+1)ε/(2+ε+2|a|+2|b|)<ε/2
(|a|+1)δ<ε/2

2|b|<2+ε+2|a|+2|b|
|b|/(2+ε+2|a|+2|b|)<1/2
|b|ε/(2+ε+2|a|+2|b|)<ε/2
|b|δ<ε/2
だから

|f(x,y)-r|
=|xy-ab|
<|x(y-b)+b(x-a)|
≦|x||y-b|+|b||x-a|
<(|a|+1)δ+|b|δ
<ε/2+ε/2
=ε
だから
(x,y)∈f^(-1)(r-ε,r+ε)
だから
U(a,b,δ)⊂f^(-1)(r-ε,r+ε)
だから
f(U(a,b,δ))⊂(r-ε,r+ε)
だから
fは連続である

この回答へのお礼

ありがとうございました。このような長い証明を即座に教えてくださるとは驚きです。大変助かりました。

お礼日時：2022/02/26 10:02