掛け算や足し算など、演算そのものの集合は考えられますか

群、環、体は、ひとつないし二つの演算で閉じている集合・・・と漠然と理解していますが、演算の集合とか考えられますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/02/03 17:50

> 演算の集合とか

　たとえば「X上で閉じている2項演算 a●b」というのは、「●:X^2→ X」と言っているのと同じで、この関数(写像)●による(a,b)の像 ●(a,b) のことを a●b と書いただけ。そして、「●:X^2→ X」というのは、集合●が
　● ⊂ X^3
　∀a∀b((a,b)∈X^2 ⇒ ∃c(a,b,c)∈●)
　∀a∀b∀c∀d((a,b,c)∈● ∧ (a,b,d)∈● ⇒ c = d))
を満たすということ。つまり
　(a,b,c)∈●
であるような唯一のcのことを（●を関数だと思いたいときには）●(a,b)、（●を演算だと思いたいときには）a●bと書く、というだけです。だから、要するに演算●の実体はこの集合●に他ならない。
　で、いろんな演算の実体を集合●,□,△,...としますと、どれもX^3の部分集合です。そして、もちろんそれらを要素とする集合{●,□,△,...}も定義できますね。そんなもん作ってどうするかは別として。

この回答へのお礼

なるほど~です。
ありがとうございます。

お礼日時：2022/02/03 19:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/02/03 01:35

「collection」の意味では考えられるよね.

それをどうするかは別として.