補集合についてです AかつB のときは共通した部分を入れないのに AまたはBのときは共通した部分を入

補集合についてです

AかつB のときは共通した部分を入れないのに

AまたはBのときは共通した部分を入れるのは何故ですか？

未着ちゃわかりにくい質問ですみません

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/26 12:16

日本語と数学用語の微妙なずれがあるので、例で説明します。

図参照
1年生が1人、2年生が2人、3年が3人、4年が4人いるとします。
1年と2年を合わせた3人をグループA、2年と3年を合わせた5人をグループB、4年の4人をグループCとします。
すると、1年はグループAに所属します。２年はグループAとグループBの両方に所属します。３年はグループBに所属します。4年はグループCに所属します。
以上の場合に、①A∩B、②A∪B、③￢(A∩B)、④￢(A∪B)、⑤￢Aの５通りを調べる。
補集合の記号は、表に示したように、文字の上に横線(バー)を引くが、文字入力では「バー」を入力できないので、代わりに補集合の記号「￢」を使った。
①A∩Bは積集合で、AとBの両方に所属するもので、この場合は2年生の2人である。
②A∪Bは和集合で、数学では「AまたはB」という。「レストランで食事をしたら、紅茶またはコーヒーがサービスで付きます。」という場合、紅茶とコーヒーの両方はもらえないが、和集合のときの「または」では、A，B両方も含むので、和集合は、1,2,3年の6人になる。
③ ￢(A∩B)は積集合の補集合である。A∩Bが2年生の2人だから、補集合は、それ以外のすべてで、1,3,4年生の8人です。
④￢(A∪B) は和集合の補集合である。A∪Bは1,2,3年の6人だから、補集合は、それ以外のすべてで、4年生の4人です。
⑤￢AはAの補集合である。Aは1,2年の3人だから、補集合は、それ以外の3,4年生の7人です。
あなたの質問です。
補集合についてです。AかつB のときは共通した部分を入れないのにAまたはBのときは共通した部分を入れるのは何故ですか？
上記の例では、補集合③￢(A∩B)、④￢(A∪B)の両方とも、共通部分A∩B=2年生は入っていません。

この回答へのお礼

死ぬほど分かりやすい

お礼日時：2018/04/27 00:12

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2018/04/20 08:58

そうですね。

何を聞きたいのかがわかりません。

「AとBの共通した部分」とは、通常はA∩B、AかつBのことを言います。
補集合とは、「〜ではない集合」ですから、「AかつBの補集合」つまり「『AとBの共通部分』の補集合」に、AとBの共通部分が含まれないのは当然です。

数学でAまたはBと言ったときには、A∪Bのことで、これにはA∩Bがふくまれます。
A∪Bに含まれるのですから、その補集合には含まれません。
つまり、「AまたはB(の補集合)のときは共通した部分を入れる」ということはありません。

ここを何かと勘違いしていませんか？
何を見てそう思ったのか、具体的に書けば誤解が溶けるかもしれません



例えば

日本語でAまたはBと言ったときには、「AかBのどちらか一方であり、両方ともはない」を意味することがよくあります。
こちらは、共通部分を含まないので、補集合には共通部分が入ります。
ただ、数学では「(∪の意味での)または」と混乱しないように、こちらの意味で使うときは「共通部分は含まれない」ことを明記します。(どちらか一方、など)
見落としてないですか？

A∪Bの要素数は、次の公式で求められます。

Aの要素数+Bの要素数-(A∩B)の要素数

AとBを足しただけでは、共通部分を2度足すことになるので、その分を引きます。
補集合の要素数は

全体の要素数-元の集合の要素数

ですから、A∪Bの補集合の要素数は

全体の要素数-(A∪Bの要素数)
=全体の要素数-(Aの要素数+Bの要素数-(A∩B)の要素数)
=全体の要素数-Aの要素数-Bの要素数+(A∩B)の要素数

この式の最後の +(A∩B)の要素数 だけを見て「共通部分を入れる」と思ってないですか？