数学 二次関数 90番です。 場合分けをせずに解いてしまいました 大丈夫ですか？

数学　二次関数
90番です。
場合分けをせずに解いてしまいました
大丈夫ですか？

質問者からの補足コメント

• すみません、問題はこれです
  見えますでしょうか…

  
    補足日時：2022/03/08 10:04

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/08 10:00

春霞でぼやけて読めない。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/08 12:08

No.1です。

「補足」の画像を見ました。
今回は見えますが、他人の著作物を無断で転載しているので、すぐに管理者に削除されると思います。

あなたの解き方は、たまたまこの問題だからそれでよかったものであり、たとえば
　x^2 - 2ax + 2a - 1
のような場合には上手く行きません。

この場合には
　f(x) = x^2 - 2ax + 2a - 1　　　　　①
とおいて
　f(0) = 2a - 1 > 0 → 1/2 < a
　f(2) = 4 - 4a + 2a - 1 = 3 - 2a > 0 → a < 3/2
であり、両方の共通部分から
　1/2 < a < 3/2
です。

では、この範囲で
　a = 1
とすれば
　f(x) = x^2 - 2x + 1
　　　= (x - 1)^2
ですから、
　x=1 のとき f(1) = 0
となって、与不等式を満足しません。

この場合には、①より
　f(x) = (x - a)^2 - a^2 + 2a - 1
なので、軸の x=a が定義域の中にある場合、つまり 0<a<2 の場合に、頂点の y 座標が
　-a^2 + 2a - 1 > 0
である条件を考慮しないといけないからです。
つまり
　a ≠ 1
の条件が追加になります。

つまり、あなたの解答は
(a) 軸が x の定義域よりも「左」にある場合（境界線も含む）
(b) 軸が x の定義域よりも「右」にある場合（境界線も含む）
しか考慮しておらず
(c) 軸が x の定義域の中にある場合
を考慮していません。
(c) の場合には、最小値は定義域の端点ではなく、「放物線の頂点」になるためです。

要するに「想定した条件に抜けがある」ということです。
たまたま「条件を抜かしても支障のない問題だった」というラッキーなケースだったというだけです。
想定した条件に抜けがないかは、きちんと「場合分け」をすることで確認できます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/08 14:33

あなたの答案が全文は見えていないのだけれど...

もし、
　　f(0) > 0
　　f(2) > 0 となる条件だけから a の範囲を定めた
のだとしたら、駄目です。
それでは、
　　y = f(x) の軸が 0 < x < 2 の範囲にあって
　　f(0) と f(2) は >0 だけれど
　　頂点での f(x) は ≦0 になる
場合を考慮していないからです。
0 ≦ x ≦ 2 の範囲での f(x) の最小値はいくつか？
を考える問題なので、最小値がどこにあるか？ すなわち、
軸と 0 ≦ x ≦ 2 との位置関係を考えなくてはいけません。
そこから、解答例の場合分けが生じるのです。

この回答へのお礼

たまたまなんですね、ありがとうございます！

お礼日時：2022/03/08 17:38

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/08 14:46

No.2 です。

#2 にあげた例では、
　f(x) = x^2 - 2ax + 2a - 1
　　　= (x - a)^2 - (a - 1)^2
なので、頂点の座標は
　(a, -(a - 1)^2)
つまり頂点の y 座標は常に「0 以下」なので、軸が定義域の中にあれば与不等式を満足しないことは明白ですね。
f(0) と f(2) の値だけで判断してはいけないということです。


お示しの問題では
　f(x) = x^2 - 2ax + 3a
　　　= (x - a)^2 - a^2 + 3a
なので、y = f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (a, -a^2 + 3a)
・軸は x=a
ということです。
#2 に書いた場合分けで議論すれば

(a) y=f(x) の軸が x の定義域よりも「左」にある場合（境界も含む）、つまり a≦0 の場合、定義域内で y=f(x) は単調増加なので、与不等式を満足するためには
　f(0) = 3a > 0
→　a > 0
これは「つまり a<0 の場合」を満たさないので、この場合には与不等式を満足する a の範囲は存在しない。

すなわち、質問者さんが
　f(0) = 3a > 0
とした条件は、「意味のない a の範囲」ということになります。
「a > 0」なら、軸は定義域の中か、定義域の右にあることになり、f(0) が最小値となることはないからです。

(b) y=f(x) の軸が x の定義域よりも「右」にある場合（境界も含む）、つまり 2≦a の場合、定義域内で y=f(x) は単調減少なので、与不等式を満足するためには
　f(2) = 4 - 4a + 3a = 4 - a > 0
→　a < 4
「つつまり 2<a の場合」との共通部分より
　2 ≦ a < 4　　　①

(c) y=f(x) の頂点が定義域の範囲内にある場合、つまり 0<a<2 の場合、与不等式を満足するためには、頂点の y 座標が
　-a^2 + 3a > 0
でないといけないので
　-a(a - 3) > 0
より
　0 < a < 3
「つまり 0<a<2 の場合」との共通部分より
　0 < a ≦ 2　　　②

「0<a」という条件は、(a) ではなくこちらから出てくるのです。

(a)(b)(c) は、互いに重複しないように場合分けしたものなので、与不等式を満足する a の範囲は、それぞれの範囲の「or」ということになります。
従って、与不等式を満足するには、①と②のどちらかを満たせばよく
　0 < a < 4
ということになります。


あなたのやり方では、詳細は分かりませんが
　f(0) = 3a > 0 より a>0
　f(2) = 4 - a > 0 より a < 4
として、その「共通範囲」（and）で
　0 < a < 4
としているように見えます。
なぜ「and」の条件とするのか、説明できますか？