無限等比数列の極限

答えが合わないので

教えてください。

以下、問題と質問

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答ありがとうございます。
  
  ＞答えはあっていますが
  
  とは、どういう意味でしょうか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/03/11 15:48

No.14 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/12 12:32

[1] 手書きの1〜2行目：部分和 S[3m]を考えておいて、無限和Sを有限和S[3m]の極限

　　　S = lim{m→∞}S[3m]
で表すのは適切なアイデアですね。無限和とは違って、有限和S[3m]ならば和の順番を自由に変えられるからです。

[2] 手書きの2行目のカッコ内にある
　　S = lim{m→∞}S[3m] = lim{m→∞}S[3m+1] = lim{m→∞}S[3m+2]
というアイデアに従うなら、
　　U[m] = S[3m] + S[3m+1] + S[3m+2]
として、
　　3 S = lim{m→∞}U[m]
を考えよう、すると
　　U[m]= Σ{k=1～3m} (2^(-k))sin(2πk/3)
　　　+ (2^(-1))sin(2π/3) + Σ{k=1～3m} (2^(-k-1))sin(2π(k+1)/3)
　　　+ (2^(-1)))sin(2π/3) + (2^(-2)))sin(4π/3) + Σ{k=1～3m} (2^(-k-2)))sin(2(k+2)π/3)
　　= sin(2π/3) + (1/4)sin(4π/3) +
　　　Σ{k=1～3m}(2^(-k))(sin(2πk/3) + (1/2))sin(2π(k+1)/3) + (1/4))sin(2(k+2)π/3))
　　= (3√3)/8 + Σ{k=1～3m}(2^(-k))(sin(2πk/3) + (1/2))sin(2π(k+1)/3) + (1/4))sin(2(k+2)π/3))
だから
　　t[k] = sin(2πk/3) + (1/2))sin(2π(k+1)/3) + (1/4))sin(2(k+2)π/3)
とおけば
　　　U[m] = (3√3)/8 + Σ{k=1～3m}(2^(-k)) t[k]
だな、という話になり、その先を（たとえば加法定理を使うなどして）コツコツやっていけば正解に行き着ける。
　でも、お書きの答案はこの方向には進んでいないように思われます。

[3] 一方、手書きの2行目のカッコより前まで戻りますと:
　S[3m]は有限和ですから、和の順番が変えられる。そこで、項を3つずつに区切って、それぞれの「区切り」の中身をまず足し算しておいてから、全部を足せば良い。すなわち、j個目の「区切り」の中身の和は
　　s(j) = (2^(-(3j-2)))sin(2(3j-2)π/3) + (2^(-(3j-1)))sin(2(3j-1)π/3) + (2^(-3j))sin(2(3j)π/3)
であり、
　　S[3m] = Σ{j=1～m} s(j)
であるとわかる。そしてjが整数だから
　　sin(2(3j+r)π/3) = sin(2rπ/3)
であることを使って
　　s(j) = (2^(2-3j))sin(-4π/3) + (2^(1-3j))sin(-2π/3) + (2^(-3j))sin(2π)
　　= (2^(-3j))((2^2)((√3)/2) + (2^1)(-(√3)/2)) = (2^(-3j))√3
まとめると
　　S[3m] = Σ{j=1～m} (2^(-3j))√3= (√3) T[m]
ただし
　　T[m] = Σ{j=1～m} ((1/8)^j)
である。
　このように自由に操作できるのはS[3m]という有限和を考えたからです。さてここから、無限和Sを得るためにm→∞の極限を考える。

[4] 手書きの3〜4行目：明らかに色々と変ですが、何かの勘違いでしょう。どこがどうおかしいかを細かくあげつらってもしょうがないから無視しますと、ここで考えるべきことは：
　
　　S = lim{m→∞}(√3)T[m] = (√3) lim{m→∞}T[m]

[5] 手書きの5行目：「下線部」とおっしゃるのはこの lim{m→∞}T[m] のことで、正しく計算なさっている。

[6] 手書きの6行目：以上を使って
　　S = (√3)/7
となる。

No.13 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/11 23:06

値の計算間違いよりも、その答案の一番悪いところは

lim[m→∞] S(3m) しか求めようとしていないところ。
自分で書いてた式
lim[m→∞] S(3m) = lim[m→∞] S(3m+1) = lim[m→∞] S(3m+2)
の証明は、どこ？ そこが一番大切なとこなのに。
極限計算で重要なのは、値よりも収束性だよ？

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/03/11 21:25

sin(2(3m)π/3)=0

sin(2(3m+1)π/3)=√3/2
sin(2(3m+2)π/3)=-√3/2
だから

No.10 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/11 19:42

あと、無限級数の和は

数列の項を間引いてもいけない
これを回避するためには
有限の第n部分和をもとめ
部分わなら、足し算の順番を変更したり、項を間引いたりも可能
部分和の極限が最終的な答え

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/11 19:32

いや、最大の誤りは

無限級数の和は、足し算の順番を変えてはならない
これを守っていないところ

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/11 16:51

ばかです

でも、聞いてくださいね
無限級数を考えるなら
1/2^n部分だけ取り出して　
ここだけ見れば無限等比級数になってるから
無限級数の和を求めればいいや
としてはNGなんです
あくまでも　(1/2^n)sin(2nπ/3) の無限級数を考えなければ・・・

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/11 16:32

言葉通りです。

計算過程が間違いです。

sin(2nπ/3)=|√3/2|ではありません。答えがあっているということは
この式に別の意味を考えているものと思われますが。

・・・・って、やっぱり、これもやらかしかぁー。数時間前登録って。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/11 16:14

いや、貴方の答えも導出過程も間違いです

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/11 15:44

時間ができたんで　普通（ぽい）考え方

前提　有限項の和　Snは項の足し算の順番を変更しても構わない
無限級数では　足し算の順番をかえてはならない

n=3mのとき　a[3m]=0
n=3m+1 のとき　a[3m+1]=(1/2^[3m+1])(√3/2)・・・①
n=3m+2のとき　a[3m+2]=(1/2^[3m+2])(-√3/2)…②

このことから
Sn=(√3/4)+(-√3/8)+(0/16)+(√3/32)+・・・
第3m項までの和を扱うときに
①のみの和＝S①=a1+a4+a7・・・a[3m-2]
=(√3/4){1-(1/8)^[n-1]}/(7/8)
=2√3{1-(1/8)^[n-1]}/7
②のみの和＝S②=a2+a5+a8・・・a[3m-1]
=(-√3/8){1-(1/8)^[n-1]}/(7/8)
=-√3{1-(1/8)^[n-1]}/7
これを用いて
S3m=S[3m-1]+a[3m]=S[3m-1]+0=S[3m-1]
=S①+S②
=[2√3{1-(1/8)^[n-1]}/7]-[√3{1-(1/8)^[n-1]}/7]
ｍ→∞のとき
S3m→2√3/7-√3/7=√3/7

S3m-1とS3m-2も同様に部分和を求めて　m→∞を導出
いずれも　→√3/7となることを確認して
Lim[n→∞]Sn=Lim[n→∞]S3m=Lim[n→∞]S[3m-1]
=Lim[n→∞]S[3m-2]=√3/7

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/11 15:24

与式＝（1/2）^1-(1/2)^3+(1/2)^5-(1/2)^7+・・・・

　＝1/2ー1/8+1/32-1/124・・・
これは初項、1/2、公比－１／４の等比数列の無限級数です。
項比の絶対値が１より小さいので　
与式=(1/2)/｛１－(-1/4)}＝２／５