確率で分からない問題があるので解説お願いします 投げられたコインの表裏を検知するロボットAとロボット

確率で分からない問題があるので解説お願いします
投げられたコインの表裏を検知するロボットAとロボットBがあり、ロボットAはコインが表裏を確率4/5で正確に検知するが確率1/5で間違う。
ロボットBは表裏を確率4/7で正確に検知するが確率3/7で間違う。ロボットの検出では互いに影響を受けなく、コインの表裏となる確率は等しい。
(1)コインが表であった時に、ロボットAとBが共に表と検知する確率を求めよ。
(2)ロボットAとBが共に表と検知した時に、コインが表である確率を求めよ。
解説をお願い致します

No.1 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/04/17 19:52

(1)両者が同時に表判定するのは同時確率であるので確率は積で表される。

二元表を作成すると次のようになる。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ロボットB正判定4/7＿ロボットB誤判定3/7
ロボットA正判定4/5＿＿＿＿＿＿16／35＿＿＿＿＿＿＿12／35＿
ロボットA誤判定1/5＿＿＿＿＿＿_4／35＿＿＿＿＿＿＿_3／35＿

これより、16/35である。

また、コインが裏の時に両者とも表判定する確率は3/35であると分かる。
これは(2)で使用する。

(2)ベイズの定理を用いて逆推定する。

コインの裏表の出現確率の事前確率は与えられていないため、
無情報事前確率として一様分布を仮定する。

コインの表・裏それぞれの時に、両者が同時に正判定および誤判定する確率が条件付き確率になる。

＿＿＿＿＿事前確率＿条件付き確率＿これらの積＿事後確率
コイン表＿＿1/2＿＿＿＿＿16/35＿＿＿16/70＿＿＿16/19＿
コイン裏＿＿1/2＿＿＿＿＿3／35＿＿＿3／70＿＿＿3／19＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿19/70

これより、16/19である。

検算はご自分でなさって下さい。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/04/18 06:56

#1です。

(2)ではベイズを使いましたが、もちろん、ベン図的な計算でもできます。

ただし、これがコインでなく「コロナの罹患率」で、ロボットABが「PCR検査」と「抗原検査」であるというような問題では、検査を受ける人の「想定されるコロナ感染有無」が1/2ずつではないので、単純な計算ではできません。

ベイズの方法を覚えておくのが無難でしょう。