εｰ N論法について質問です(TT) 解き方は大体分かったのですが、土台となる部分が理解出来ていませ

εｰ N論法について質問です(TT)
解き方は大体分かったのですが、土台となる部分が理解出来ていません。

0以上の全ての数をεと置いているのに
何故 l (≠0の式) l < ε と置けるのか、、
l (≠0の式) l も=εになってしまうのではないか、、

って感じでいまいちピンと来てません、、
(文章で表すのが難しいので例題と一緒に写真に載せました)
当たり前って感じのところが理解出来てなくてすみません(TT)どなたか教えて下さると嬉しいです(><)

質問者からの補足コメント

• ε< 0 となるεを一つとってくるんですか？εは全称命題じゃなかったんですか、、？急に存在命題になってしまうのですか？(TT)

    補足日時：2022/05/18 10:15

• 皆さんの解答見させていただきました、今理解出来ました(TT)！！！！
  いや、ほんとに意味不明なこと言ってしまい申し訳ない限りです、、、、

    補足日時：2022/05/18 13:52

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/18 17:39

誰も Nの範囲なんて求めていませんて。

蛇足だが　 ceil()って数学では使いませんね(アウトー。(-_-)_／Ω)。
([ ]+1) かな。

この回答へのお礼

すみません、Nの範囲求めてないとはどれに対して答えていますか…？(TT)

使わないんですね、、！Mathematicaとかで使うやつでしょうかね、、？(昨日初めて聞いたので詳しくなくて(TT))
でもお陰様でどんなものか分かったのでceil()表記で回答してくださった人に感謝です(●︎´`●︎)
endlessriverさんもありがとうございます(TT)！

お礼日時：2022/05/19 10:45

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/18 17:11

N>3/ε-1

ではなく
N>3/ε
の
方がよいです

全ての正数
ε>0
に対して
N>3/ε
となるような自然数Nが存在する

n≧Nとなる任意の自然数nに対して

|(2n-1)/(n+1)-2|=3/(n+1)<3/N<ε

となる
よって
lim_{n→∞}(2n-1)/(n+1)=2

この回答へのお礼

そうか…！n≧Nならばn+1≧Nも同然だから
N>3/εとして、
3/N < 3/3/ε = ε
とした方が良い ってことか…！(で、合ってますか？(TT)違ってたらすみません泣)
解答と訂正までありがとうございます(●︎´︎`●︎)！

お礼日時：2022/05/19 10:38

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/18 15:32

εｰ N論法は、ひとつひとつの ε に対して

「 n > N ならば |なんたら| < ε 」が成り立つような N が少なくともひとつ
存在することを示せば十分です。
これに対して、そのような N の範囲を ε の入った式で求めてしまうような解答例
が多いのですが、そこまでする必要は全くありません。
テキストで変な解答を見せられるから、おかしな刷り込みが生じるのでしょう。

この回答へのお礼

ありものがたりさんいつもありがとうございます(TT)
なるほど、そうだったんですね…！もう一度それで色々解きなおしてみます、、！！

お礼日時：2022/05/19 10:33

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/18 14:14

べつに、 N = ceil(3/ε - 1) と決めなくても、あなたの

アルキメデスの原理で十分ですよ。

No.4 回答者： funoe 回答日時： 2022/05/18 13:23

あなたが、正の実数のなかから自由にどんな　ε　を選んでも、

　（この部分が、任意のε>0　のこと）
　（選んだ瞬間、ε　はある一つの値としてあなたが決定した）

わたしは、あるＮを算出することができて、
　（このＮは、当然あなたが選んだεに対応するＮであって、
　　どんな正の実数（ε'）にでも対応できるわけではない）

以下、かくかくしかじかで　Ｎ＜ｎなら　｜・・・｜＜ε　とできる。

※理解のための蛇足だけど、あなたがεとして選ぶ値が小さければ小さいほど、わたしは大きいＮを見つけてくることになる。


あなたがノートに書いてある
「０より大きいすべての実数をεとしてる」が諸悪の根源。

０より大きい全ての実数って、なに？
　実数の集合Ｒの部分集合のこと？　
　εはあくまでＲの一つの要素だよ。

この回答へのお礼

理解のための蛇足と仰られましたが凄くイメージしやすくてタメになりました！！！！！！
ありがとうございます…！！

ですね、、、もう私の質問した内容がほんとに頓珍漢すぎて恥ずかしい限りです(TT)ちゃんとに基礎からの復習も頑張ります泣泣！

ありがとうございました！！！

お礼日時：2022/05/18 15:05

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2022/05/18 13:19

全称命題とその証明の原理が理解できていませんね。

xの全体集合をX、P(x)をxに関する述語（命題関数、条件）、とすれば
すべてのxについてP(x)
は真偽が決まる命題です。これが真ということは、例えば、X={a,b,c}であれば、
P(a)もP(b)もP(c)も全部真
ということです。

すべての正の実数εについてP(ε)
という命題も同じ構造なので、これが真ということは、
P(0.1)もP(0.001)もP(100)も…全部真（正の実数全体の元を並べて書くわけにはいかないですが）
という意味です。

このような命題を証明するときは、xをXの（任意の）元とする、として、xとしてはXの元、という性質しか使わないでP(x)であることを示します。
こうすれば、xがaであってもbであってもcであっても正しいということが全部まとめて言えるわけです。

ε-δ論法の場合、P(ε)の内容が、Q(δ)を満たす実数δ>0がある、なので、ちょっと複雑ですが、
同じようにP(0.1)もP(0.01)も…も全部真といえばいいのです。
例えば、P(0.1)が真というには、εが0.1の時、こういうδはQ(δ)を満たす、というδを作って見せればいいわけです。

そこで、すべての正の実数εについてP(ε)を示すために、
εが0.1ならこういうδがQ(δ)を満たし、εが0.01ならこういうδがQ(δ)を満たし、...
というのをいえばよく、それらをまとめて書いたのがε-δ論法です。

この回答へのお礼

ごもっともです、、(TT)
全称命題の証明の授業範囲見直してきました、

『∀x,p(x)は、全体集合Uの全ての要素xについてp(x)が成り立つということだが、命題p(x)の中では一つの固定されたxについて述べていることに注意する。』
『∀x,p(x)を考える時には、任意に(特別な選び方をしないで)一つのxを固定して考える』

と、勘違いしやすい点として取り上げられていたにも関わらずまんまと引っかかっていました、、、
cage64さんのお陰でちゃんとに見直せました、ありがとうございます(TT)！

P(x)で書き表すのめちゃくちゃ分かりやすかったです…！
ε-δ論法も、ちょうど今日見ようと思っていたところだったので凄くタメになりました、ありがとうございました！！！

お礼日時：2022/05/18 14:55

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/05/18 12:13

>何故 l (≠0の式) l < ε と置けるのか、

置く？

任意の ε に対して
N が存在し
任意の n に対して
n > N → |(≠0の式) | < ε　
となる

ということ

(2n-1)/(n+1)=2 - 3/(n+1) だから

|(2n-1)/(n+1)-2| = 3/(n+1)

3/(n+1) < ε → n > 3/ε - 1

だから N = ceil(3/ε - 1) と決めれば
n > N → 3/(n+1) < ε　は常に真。

任意のεに対して常に適切な N を

決めることができる

というのが肝。

この回答へのお礼

どうやら私は

(2n-1)/(n+1)=2 - 3/(n+1) だから
|(2n-1)/(n+1)-2| = 3/(n+1)
3/(n+1) < ε → n > 3/ε - 1

ここの部分の式を、
<ε が成り立つNを求める為に計算しているのではなく、
この時点で<εは確定するものなのかと思い込んでしまい、その為変な混乱を招いてしまっていたようです。


だから N = ceil(3/ε - 1) と決めれば
n > N → 3/(n+1) < ε　は常に真。

これを読んでやっっと納得しました…

ありがとうございました！！！

お礼日時：2022/05/18 14:10

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/18 11:05

よくわかりませんが。

　∀ε>0, ∃N, N>3/ε-1 (つまり、3/(N+1)<ε)
と
　 n≧N → 3/(n+1)≦3/(N+1)
が分かっているなら
　|(2n-1)/(n+1)|=3/(n+1)≦3/(N+1)<ε
となる。

>l (≠0の式) l も=εになってしまう・・・<
●意味不明。

なお、「0以上の全ての数をε」とか「ε< 0 となるεを一つとってくる」
など、記述がポンコツ。

この回答へのお礼

あくまでイメージとして、『「0以上の全ての数をε」と置けるんだよ、
その中で「ε< 0 となるεを一つとってくる」んだよ』というのは先生が仰ってました…
それを私が変な解釈で捉えてしまった為混乱を招いてしまったんですけど(><)
理解出来ました、ありがとうございました！！

お礼日時：2022/05/18 13:56