直線は半径無限の円周でもあるのでしょうか。

Question

以前にも類似の質問をさせていただきましたが、普通の座標で描かれる双曲線がどこかでつながっていると安心できるような気がしています。水平線から昇ってくる太陽のようなイメージで素朴に期待しているのですが・・・

pyon1956 · Accepted Answer

素朴にいえば、半径無限の円周はありえないわけで・・・
円周をどのように定義するかで話は違ってきます。
もともとのエウクレイデスの幾何学にはそもそも無限の概念がありません。円周はある点から等距離にある点の集合、と考えたとき無限は等距離の中にいれられません。等しいという概念で計れないからですね。
従ってNo.6のいわれるように曲率を考えます。または微分幾何。いずれにせよこれらの場合「半径無限大」が実在しているのではなく、計算上無限になるといっているだけのことです。
射影幾何なんかだとはなしは別でしょうがそこまでいくと距離の観念そのものが違いますし。

それと皆さんがおっしゃってることの真意というか、そのへんなんですが、数学にもそれなりの歴史と経緯というものがあって、正直イメージや思い付きだけで考えていくのは無理です。むしろ体系的に物事を理解する上で具体的なイメージを作るべきなんで、そうしないと訊くほうも答えるほうも正確に物を伝えられなくなるわけで。

つまり質問する前にもう少し専門書なり入門書なりを学習しないと（まあといっても大学教養程度までの数学ですが）お尋ねになっているような内容がちゃんとわかることはありえないと思うのですが。

jmh · Answer

＃１礼> 今、紙の上に一本の直線を引き、…

この図の描きかたがよく分かりません。
円は線に接してるの？

noname#108554 · Answer

質問文をよく読むと、

>普通の座標で描かれる双曲線がどこかでつながっている

とありますから、質問者さんが意図しているのは
非ユークリッド幾何でなくて、こっちかもしれません。
http://www.nikonet.or.jp/spring/mebius/mebius_5.htm
http://www.nikonet.or.jp/spring/mebius/mebius_6.htm
要するに、1次元の直線(無限遠点込み)と半円周は
同じもの(1対1に対応がつく)だという話ですが。

mydummy · Answer

「曲率」を調べてください。あなたの求めているものはそこにあります。

たしかに「直線は曲率半径が無限になるので曲率が0だ」とか言いますねえ。でも直線をそういう風に扱うと計算が厄介そうだ。無限記号を含む演算は私は苦手だ……。

noname#108554 · Answer

>京に上って地言葉で長々口上を述べるのは気がひけることです。

いやー、田舎言葉でもいいので、書いてください。でないと、
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1283981
のように、自分でも書いてて違う方向に走っている気がする文章になってしまいます。

さて、本題です。
ユークリッド幾何の範囲では同じものですが、
非ユークリッド幾何までいくと、違うものになることがあります。
参考URLの本はこの話では私が必ず紹介する本です。
非ユークリッド幾何では、半径無限大の円周はトローペといい、
直線とは違うものになります。
どう違うのかはその本を読んでみてください。
といっても、トローペが登場するのは3章なので
ブルーバックスの割には根性が必要です。

1.直線
2.円周
3.トローペ
4.ある直線からの等距離線
5.ある点を通り、その点を通らない直線と平行な直線

ユークリッド幾何の世界では、
1.2.は全く別物です。3.にあたる存在は無く、4.5.は一致します。
非ユークリッド幾何の世界では、1.2.はユークリッド幾何と同じようなものです。
しかし、3.は1.2.の中間みたいな存在です。
そして、4.は直線にはなりません。
5.はユークリッドの世界では1本しか引けませんが
非ユークリッドだと無限本引くことができます。

ちなみにgoogleでトローペを検索してもまったく関係ないものが出てきます。

haibara · Answer

ふむふむ…見事に的外れだったかもしれませんが
回答したものです。

全部が全部後出しだったら、問題ですが…
今の現状では、gooのシステム上…一回投稿したら
誰かの返信を使わない限り、補足出来ないので
少々不便ですよね。僕も経験ありますよ。

まぁ、気長に慣れるのがよろしいかと(^^;

では～

springside · Answer

また直接的な回答ではなく、大変申し訳ないです。

>>数学が分かる方の連想的な回答を読ませていただくことによって勉学の励みといたしております。

これ自体は高い志だと思うのですが、私自身、何度かkaitaradouさんの質問への回答を書いた経験や、他の方回答を見た経験により、以下のようなことが起きたことあります。


kaitaradouさんの質問を見る。
↓
非常に短い抽象的な記述しかなく、具体的に何をお考えなのか不明であるものの、回答を書けそうなものに対し、kaitaradouさんがお考えであろう事を一生懸命推測して、回答を書く（又は、回答を考える）。
↓
kaitaradouさんが補足、お礼を書く。
↓
それを読んで、自分が書いた（又は、考えた）回答が、kaitaradouさんのお考えとは全く異なる的はずれなものであったこと、すなわち、自分の努力が無駄であったことを知る。
↓
「何故、そういう重要なことを最初から書かないのか。後出しじゃんけんのようで、ひどいではないか。」と不愉快になる。
↓
その後は、kaitaradouさんの質問に対する回答を書く気が失せる。

以上は、私の勝手な考えではありますが、いずれにせよ、何かお考えのことがあるのであれば最初から書くべきであり、「後出し」はやめた方がいいと思います。

springside · Answer

直接的な回答ではないのですが。

kaitaradouさんは、いくつも質問されていますが、具体的にどのようなことをお考えなのかという質問の趣旨そのものが不明なものが多いと思っています。

後になって、

>>言葉が足りなかったと思います。今、紙の上に一本の直線を引き、この直線の上の一点にコンパスの中心を置き、ある関係で円を描き、なた少し大きい円を描きというように半径をだんだん大きくすると直線と変わりがなくなるという事実を、数学的にはどのように考えるのだろうかという意味でした。決して直線は円周に過ぎないとかそういうことを期待しているわけではありません。

というような補足を加えるのではなく、最初から上記のような内容を詳細に書いてください。

haibara · Answer

考え方にもよるので、定義はできないはずです。
定義した学者がいるとしたら、私は反対です。

その定義が認められると、全ての図形(物質)が円で
作られている事にも繋がります。(円の集合体)

紙の上に、一つの点があっても円でしょうか。
消しゴムやエンピツのようなものも？
そうでないと、信じます。

そういえば、円の定義からも…外れるので
円でなくなる気もします。

直線は半径無限の円周でもあるのでしょうか。

素朴にいえば、半径無限の円周はありえないわけで・・・

＃１礼> 今、紙の上に一本の直線を引き、…

質問文をよく読むと、

「曲率」を調べてください。

>京に上って地言葉で長々口上を述べるのは気がひけることです。

ふむふむ…見事に的外れだったかもしれませんが

また直接的な回答ではなく、大変申し訳ないです。

直接的な回答ではないのですが。

考え方にもよるので、定義はできないはずです。

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