x, y, z ∈ Z>0 が (x, y) = 1, x^2 + 3y^2 = z^2 を満たして

x, y, z ∈ Z>0 が (x, y) = 1, x^2 + 3y^2 = z^2 を満たしている時, x, y, z はどのように表 されるか.
とはどういうことでしょうか？
答えられる方お願いします。

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2022/07/02 17:46

以下はジョークだが、十分条件であることは確か。

x^2+3y^2=z^2 より
(x+y√(-3))(x-y√(-3))=z^2
右辺が2乗だから、左辺の各項も2乗。つまり、
x+y√(-3)=(a+b√(-3))^2 となる。
よって、
x=a^2-3b^2
y=2ab
この時
z=(a+b√(-3))(a-b√(-3))=a^2+3b^2
(a,bは任意の正の整数）

Q(√(-3))の整数環Z[ω]（ωは1の原始3乗根）の性質（UFD,単元は±1,±ω,±ω^2のみ）を使えば、厳密な議論ができる。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/02 10:08

x=1

y=1
z=2

の時
(x,y)=1
x^2+3y^2=4=z^2

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/02 07:40

記号の説明が不足で、舌足らずな問題文だけど、

x, y, z が正の正数で、
x, y の最大公約数が 1 で、
x^2 + 3y^2 = z^2 を満たしている時、
x, y, z を他の変数とよく知られた関数の組み合わせで表示せよ
ってことでしょうね、たぶん。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/01 23:11

にゃんじゃら・・・ホイ

x, y, z ∈ Z>0　って何?
(x, y) = 1　って何?

> x^2 + 3y^2 = z^2 を満たしている時, x, y, z はどのように表 されるか.<
● x^2 + 3y^2 = z^2 　で表されるんじゃ