連成振動子の基準振動を求めたい

1次元連成振動子系の基準振動が、与えられた固有振動数を持つことを示したいのですが、添付画像のように進んでいったところで詰まりました。
解法として間違ってはいないと思うのですが、どうにも分かりません。（そも、、N=2とでもするとゼロとなりません。）
間違っている点、正しい道筋をお教えくださいますとありがたいです。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 画質が悪くなりすぎましたので、Googleドライブに置きました。
  こちらをご覧くださいませ。
  https://drive.google.com/file/d/1cBkDo74sURhU4Tq …

    補足日時：2022/07/31 11:50

• >>ハミルトニアンのうち、位置エネルギーの項を対角化するとどうして基準振動が求まるのですか？
  相互作用する項がある座標系から，線形な形になる座標系へと変換するために行います．
  ざっくり言えば，ハミルトニアンが線形な形になる座標系の振動が基準振動ですので．
  
  >>その問題では結果的にはそういう計算をする事にはなりそう
  はい．お分かりなのでしたら特に問題ないのではありませんか．
  運動方程式を立ててからでも良いのですが，結局同じことになりますので直接計算しています．

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/31 17:44

• 返信が遅くなりすみません．
  
  この問題の場合，固有値が与えられており，自ら導く必要がないため，固有方程式を満たすことを示すのが最も容易だと考えました．
  これは難しく考えようとしているのでしょうか．
  だとするとどういったアプローチか簡単なのでしょう．今ひとつ浮かびませんので，教えていただけるとありがたいです．
  
  >>固有ベクトルが既知なら
  N粒子系の固有ベクトルがピンと来ませんでしたが，もしや基本的なことなのでしょうか．そうであればお恥ずかしい限りです．
  
  
  （ところで，質問本文中に，N＝2の時0とならない，と書きましたが，計算ミスでした．）

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/08/06 13:33

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2022/08/07 15:06

弦の振動とか気柱共鳴とか振動や波に関する話は扱った事は今までに一度もありませんか？

結論から言ってしまえば、i番目の基準振動は
y_k= A_n sin(kiπ/(N+1) )
というただの三角関数です。固有ベクトルがこの形である事さえ予想できれば、あとはお書きの行列に作用させるだけなのですよ。

具体的な波数と位相の値はy_0=y_(N+1)=0になる(と都合が良い)事に気付くかどうかで難易度は変わるので、この部分は補足が必要になるかもとは思ってましたが、「音波」を考えているという事が分かっていれば、三角関数と結びつける事自体は自然な発想ですよね。さらに固有値は解析的に求まる事がわかっている以上、固有ベクトルも比較的単純な形になる事は十分に予想できる話です。
だからこそ、どんな系を考えているのかに注目して固有ベクトルを予想せよと言っていたのです。

貴方の方針が全くダメだとは思いませんが
cos(iπ/(N+1))たちが解になる多項式(固有値方程式を展開した結果)がどんな形の多項式なのかが予想できない(少なくとも簡単ではない)時点で、私なら行列式を具体的に計算するのは諦めるかなと思います。
(逆に貴方には予想できているのなら貴方の方針でも目はあるとは思います)

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/07/31 18:41

いや、話を難しく考えたいのなら別に止める理由はないんですが、最終的に何を解けばいいという話になるのかという部分ばかり目が言って、元々何を求めようとしてたのかを見失ってるのではないかと思っているのですかがね。

確かに固有値は固有値方程式を解けば求まるんですけど、もしも固有ベクトルが既知なら固有値は遥かに楽に求まります。この手の計算は初めてではなさそうという印象だったので、ご質問の系がどんな系なのか想像できていればどんな形の固有ベクトルであるかを予想するのは難しくないと思ったのですが如何ですか？

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2022/07/31 16:34

ハミルトニアンのうち、位置エネルギーの項を対角化するとどうして基準振動が求まるのですか？

その問題では結果的にはそういう計算をする事にはなりそうですが、この部分をすっ飛ばして「こう計算すれば良い」という結論しか見ないのでは、何の応用もできない理解になると思いますよ。

N=2の時だと下記のような流れ。あとはこれを一般のNに応用できるかですね。
https://www.jsme.or.jp/kaisi/1190-36/