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スタインメッツ交流理論

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質問者：mpcsp079goo
質問日時：2022/08/30 21:17
回答数：5件

証明できますか？

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回答 (5件)

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No.2ベストアンサー

回答者： endlessriver
回答日時：2022/08/31 17:14

難しくしないで、普通に説明されている方法でよいような気がします

が、一応、理屈ぽくしました。

回路網の1辺 (?)を考えると、その電圧は
　Ri+Li'+q/C+e
となる。複数個の素子があっても、まとめると上式でも一般性は失わ
ない。この時、閉回路を取り、その各辺をkとして電圧則により
　Σ(Rkik+Lkik'+qk/Ck+ek)=0
となる。微分して
　Σ(Rkik'+Lkik''+ik/Ck+ek')=0 (qk'=ik)
となる。

つぎに、電源を正弦波に限り、
　ek=Ekexp(jwt) , ik=Ikexp(jwt)　(Ek, Ik は複素数)
となるような特殊解を求める。すると
　Σ(jwRkIk-w²LkIk+Ik/Ck+jwEk)exp(jwt)=0
→ Σ(RkIk+(jwLk)Ik+Ik/(jwCk)+Ek)=0
となる。

つまり、L,Cを jwL, 1/jwC の抵抗(インピーダンス)として、直流の
回路式と同等な関係が成り立つ。

電流則からも同様な式が成り立ち、これらの連立一次式は解けること
が分かっている(らしい)。つまり、この特殊解が存在する。

という交流理論の論理が成り立つ (スタインメッツは知らないので)。

一般の電圧測はどこにも証明されていないが面倒なので略。

さらに、この特殊解が、期待されている定常解なのかは不明だが、頭
の良い人にかかればなんとかなるような気がする。

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この回答へのお礼

■素子の電圧と電流の関係

正弦波、定常状態での素子の両端電圧ｅと電流ｉの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。
抵抗Ｒなら、
ｅ＝Ｒ＊ｉ

インダクタＬなら、

ｅ＝Ｌｄｉ／ｄｔ

コンデンサＣなら、

ｅ＝∫（ｉ／Ｃ）ｄｔ

ここで、オイラーの公式を使い、、

ｅ＝Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））

ｉ＝Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））

と表す。Ｅ，Ｉは複素数で振幅と位相差を表していて、フ

ェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、

大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。

すると、

抵抗Ｒなら、

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｒ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））

インダクタＬなら、

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝Ｌｄ（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））／ｄｔ

＝Ｌ（Ｒｅ（ｊωＩ＊ｅ＾（ｊωｔ）））

コンデンサＣなら、

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝∫（（Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）））／Ｃ）ｄｔ

＝Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω））／Ｃ）

ここで、微分とＲｅが交換できる、ということを利用する。

【証明】

ｄＲｅ（ａ＋ｊｂ）／ｄｔ＝ｄｂ／ｄｔ

Ｒｅ（ｄ（ａ＋ｊｂ）／ｄｔ）＝ｄｂ／ｄｔ

すなわち

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＲ＊Ｒｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＬ（Ｒｅ（ｊωＩ＊ｅ＾（ｊωｔ）））＝０

Ｒｅ（Ｅ＊ｅ＾（ｊωｔ））ーＲｅ（Ｉ＊ｅ＾（ｊωｔ）／（ｊω））／Ｃ）＝０

さらにこれは、

Ｒｅ（（ＥーＲ＊Ｉ）＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０

Ｒｅ（（ＥーＬ＊ｊωＩ）＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０
Ｒｅ（（Ｅー（Ｉ／（ｊωＣ）））＊ｅ＾（ｊωｔ））＝０

これらが任意にのｔで成り立つためには、

ＥーＲ＊Ｉ＝０

ＥーＬ＊ｊωＩ＝０

ＥーＩ／（ｊωＣ）＝０

でなければならない。つまり、
Ｒの場合、

Ｅ＝Ｉ＊Ｒ

Ｌの場合

Ｅ＝ｊωＬ＊Ｉ

Ｃの場合

Ｅ＝Ｉ／（ｊωＣ)

というフェイザ間の関係が出てくる。