No.2ベストアンサー
- 回答日時:
難しくしないで、普通に説明されている方法でよいような気がします
が、一応、理屈ぽくしました。
回路網の1辺 (?)を考えると、その電圧は
Ri+Li'+q/C+e
となる。複数個の素子があっても、まとめると上式でも一般性は失わ
ない。この時、閉回路を取り、その各辺をkとして電圧則により
Σ(Rkik+Lkik'+qk/Ck+ek)=0
となる。微分して
Σ(Rkik'+Lkik''+ik/Ck+ek')=0 (qk'=ik)
となる。
つぎに、電源を正弦波に限り、
ek=Ekexp(jwt) , ik=Ikexp(jwt) (Ek, Ik は複素数)
となるような特殊解を求める。すると
Σ(jwRkIk-w²LkIk+Ik/Ck+jwEk)exp(jwt)=0
→ Σ(RkIk+(jwLk)Ik+Ik/(jwCk)+Ek)=0
となる。
つまり、L,Cを jwL, 1/jwC の抵抗(インピーダンス)として、直流の
回路式と同等な関係が成り立つ。
電流則からも同様な式が成り立ち、これらの連立一次式は解けること
が分かっている(らしい)。つまり、この特殊解が存在する。
という交流理論の論理が成り立つ (スタインメッツは知らないので)。
一般の電圧測はどこにも証明されていないが面倒なので略。
さらに、この特殊解が、期待されている定常解なのかは不明だが、頭
の良い人にかかればなんとかなるような気がする。
■素子の電圧と電流の関係
正弦波、定常状態での素子の両端電圧eと電流iの関係を考える。この場合、すべての電圧、電流波形は正弦波とする。
抵抗Rなら、
e=R*i
インダクタLなら、
e=Ldi/dt
コンデンサCなら、
e=∫(i/C)dt
ここで、オイラーの公式を使い、、
e=Re(E*e^(jωt))
i=Re(I*e^(jωt))
と表す。E,Iは複素数で振幅と位相差を表していて、フ
ェイザと呼ばれる。ここで、複素数の掛け算においては、
大きさは大きさの積で、偏角は和になるとする。
すると、
抵抗Rなら、
Re(E*e^(jωt))=R*Re(I*e^(jωt))
インダクタLなら、
Re(E*e^(jωt))=Ld(Re(I*e^(jωt)))/dt
=L(Re(jωI*e^(jωt)))
コンデンサCなら、
Re(E*e^(jωt))=∫((Re(I*e^(jωt)))/C)dt
=Re(I*e^(jωt)/(jω))/C)
ここで、微分とReが交換できる、ということを利用する。
【証明】
dRe(a+jb)/dt=db/dt
Re(d(a+jb)/dt)=db/dt
すなわち
Re(E*e^(jωt))ーR*Re(I*e^(jωt))=0
Re(E*e^(jωt))ーL(Re(jωI*e^(jωt)))=0
Re(E*e^(jωt))ーRe(I*e^(jωt)/(jω))/C)=0
さらにこれは、
Re((EーR*I)*e^(jωt))=0
Re((EーL*jωI)*e^(jωt))=0
Re((Eー(I/(jωC)))*e^(jωt))=0
これらが任意にのtで成り立つためには、
EーR*I=0
EーL*jωI=0
EーI/(jωC)=0
でなければならない。つまり、
Rの場合、
E=I*R
Lの場合
E=jωL*I
Cの場合
E=I/(jωC)
というフェイザ間の関係が出てくる。
No.4
- 回答日時:
#3について
電流の方向を決めると抵抗・インピーダンスは流れ込む入口を
+にし、電源は流れ出す方+に設定します。
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