無限大の大きさ

無限大に大きさはありますか？
とてつもない大きさを表す"状態"として捉えると大きさはなさそうに思えます。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/11 19:57

＞ ガウスはカントールの集合論を生涯認めませんでした。

のガウスは、
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Germar_Rudolf#Ve … の人じゃあなくて
Johann Carl Friedrich Gauß のことだろうね。
彼は、自分が発表したもの以外は認めないことで有名で、
他人に発表されないように部分的な研究は完成するまで秘密にしていたから。
カントールの集合論は、彼の時代には未完成で問題の多い代物で
後世に完成されることになるのだが、
さすがのガウスも、ひとりでこっそり集合論を確立するのは、手に余ったのだろう。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/11 15:39

例えば「極限」として使う場合の「無限大」は「どんな数よりも大きい」という状態を表すので, その「大きさ」を考えることに意味はないといえる.

一方で「集合の要素数 (濃度)」を考えると「無限集合」の濃度はやはり「無限大」と解釈できるわけだけど, こっちだと「濃度が異なる (つまり 1対1対応を作ることのできない) 無限集合」が存在するのだからそれぞれに対して「『大きさ』の異なる『無限大』」というのを考えることができる. こっちには「超限数」という呼び方もあって, 単純に集合の濃度だけを考える場合には「超限基数」, 要素の間に順序があってその順序も込みで比較する場合には「超限順序数」なんてのを使う. 順序込みの方が厳しい比較になるので「基数は同じだけど順序数は異なる」というケースも存在する.

あとは「無限大に発散する『速度』」に着目することもあって, その場合にはいわゆる「オーダー」で評価するのが一般的だと思う.

ところで「ガウスはカントールの集合論を生涯認めませんでした。」の「ガウス」や「カントール」って誰のことだろう＞#5.

No.6 回答者： head1192 回答日時： 2022/10/10 20:40

無限大そのものに数的な大きさは定義されない。

数学でも物理学でも「無限大」に発散する問題が追及されないのはそのためである。
特に物理学では、無限大への発散は「法則の限界」になってしまう。

しかし無限大同士となると事情が変わる。
どうも「大きい無限大」と「小さい無限大」があり、大小比較ができるらしい。

たとえば「可算無限個」と「非可算無限個」。
自然数の個数は可算無限個であり、手間をかければ数えられる。
実数の個数は非可算無限個であり、どんなに手間を費やしても数えられない。
当然非可算無限個の方が大きい。

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/10 14:03

「大きさを表す"状態"として捉える」

これは数学の帝王ガウスと同じ発想です。

ガウスはカントールの集合論を生涯認めませんでした。
皮肉な事に現代数学は集合論の上に出来ています。

集合論を除いてしまうと、数学は総崩れします。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/10 13:45

それは「大きさ」という言葉の意味しだいですねえ。

無限集合に「元の個数」は存在しませんが、
無限の大きさ加減を比較する方法はあります。
例えば、全ての自然数の集合の大きさと
全ての有理数の集合の大きさは同等ですが、
全ての実数の集合の大きさとは同等でない
ことが知られています。参考↓
https://manabitimes.jp/math/1292

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/10 13:40

大きさと言うか濃度に違いが有ります。

自然数(1,2,3,4・・・）は一番濃度が低くてアレフ0です。
整数、有理数もアレフ0です。

√2やⁿ√mで表せる様な、代数方程式の解として定義される無理数もアレフ0です。

ですが実数全体はアレフ0より大きい濃度です。
実数の中のeとかπで表せる数がアレフ0より大きい濃度だからです。
eとかπで表せる数=超越数で、超越数はアレフ0より大きい濃度です。

ではこの濃度はアレフ1なのか、つまりアレフ0の次に大きい濃度アレフ1なのか？

連続体仮説と言って、この解決には長い時間がかかりましたが、「これは公準である」で決着しています。

濃度アレフnの部分集合の濃度はアレフnより大きい事が示されてますので、幾らでも大きな濃度が存在する事になります。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/10/10 13:34

無限大に大きさというものは存在しませんが、

「無限大と言える大きさ」は存在します。

ありうるとすれば、宇宙の大きさでしょうか。
しかし、宇宙の大きさについては、無限、有限の二つの説があります。
証明できないため、二つの説が存在しているのです。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2022/10/10 13:32

「大きさ」は不明ですが、無限大の「濃度」なら、いろんな違った濃度の無限大ががありますよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC …