写真の数学問題で、右サイドの下線部を引いた〜のときはどういう基準で書けばよいのでしょうか？ (i)は

写真の数学問題で、右サイドの下線部を引いた〜のときはどういう基準で書けばよいのでしょうか？
(i)はもともとの場合分けに使ったものと、その後の問題を解く上でで分かったもの。
(ii)は問題を解く上でわかったもののみ。
を記載しており、試験等の問題をどう対応してよいかわかりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2022/12/30 07:36

(i)の時は、k=-1という必要条件がでるので、これが十分でもある（実際にk=-1となるa,b,cがある）ことを示すために「～のとき」と書いてます。

この考察がないと、「本当にk=-1となる場合があるのか？」と突っ込まれて大幅な減点になるでしょう。

(ii)も同様で、k=1/2を満たすa,b,cが実際にあることを示すために「～のとき」と書いています。

簡単に言えば十分条件でもあることを示す必要がある時に書く、ということでしょうか。

なお、求められているのは式の値(k)だけなので、(i)では、「a=b=0,c=-3 のときk=-1となる」、(ii)では「a=b=c=0のとき k=1/2となる」とかいても構いません。ただし、最終的な答は「以上より、求める式の値は -1または1/2である」 とまとめて書いておいた方がいいと思います。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/29 19:58

(a+1)/(b+c+2)=(b+1)/(c+a+2)=(c+1)/(a+b+2)

の分母≠0から
b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
だから

i)は
b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3=0
のとき

ii)は
b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3≠0
のとき

と書いてもよい

だけれども

i)は

[b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0,a+b+c+3=0]
↓↑同値
[a≠-1,b≠-1,c≠-1,a+b+c=-3]

だから

b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3=0
のとき
と書くよりも

a≠-1
b≠-1
c≠-1
a+b+c=-3
のとき
と書いた方が文字数が少ないからさらによい

ii)は

[b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0,a+b+c+3≠0]
↓↑同値
[a=b=c≠-1]

だから

b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3≠0
のとき
と書くよりも

a=b=c≠-1
のとき
と書いた方が文字数が少ないからさらによい

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/29 17:41

字面は「この式の値を求めよ」とだけ書いてありますが、

こういう問題は、式の取り得る全ての値と
k のその値を与える a,b,c の範囲まで答えるのがお約束です。
そこまで書いてないと、満点はもらえません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/29 17:06

(a+1)/(b+c+2)=(b+1)/(c+a+2)=(c+1)/(a+b+2)=k

a+1=k(b+c+2)
b+1=k(c+a+2)
c+1=k(a+b+2)
(a+b+c+3)(2k-1)=0

i)
b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3=0
の場合
a+b+c=-3
a+1=-(b+c+2)≠0
a≠-1
b+1=-(c+a+2)≠0
b≠-1
c+1=-(a+b+2)≠0
c≠-1

逆に
a+b+c=-3
a≠-1
b≠-1
c≠-1
のとき
a+b+c+3=0
a≠-1だから
b+c+2=-(a+1)≠0
b≠-1だから
c+a+2=-(a+1)≠0
c≠-1だから
a+b+2=-(c+1)≠0
だから

{(a,b,c)|b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0,a+b+c+3=0}={(a,b,c)|a≠-1,b≠-1,c≠-1,a+b+c=-3}

ii)
b+c+2≠0
c+a+2≠0
a+b+2≠0
a+b+c+3≠0
の場合
(a+b+c+3)(2k-1)=0
↓a+b+c+3≠0だから
2k-1=0
2k=1
k=1/2
2a=b+c
2b=c+a
2c=a+b
↓
a=b=c
a+b+c+3≠0だから
3(a+1)≠0だから
a≠-1だから
a=b=c≠-1

逆に
a=b=c≠-1
のとき
a≠-1だから
b+c+2=2(a+1)≠0
b≠-1だから
c+a+2=2(b+1)≠0
c≠-1だから
a+b+2=2(c+1)≠0
a≠-1だから
a+b+c+3=3(a+1)≠0
だから

{(a,b,c)|b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0,a+b+c+3≠0}={(a,b,c)|a=b=c≠-1}