
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
「最大化・最小化」の意味が不明だが、最大最小を求むとする。
f(x,y)=6x²+4√3xy+10y²・・・・・①
g(x,y)=x²+y²-1=0・・・・・・・・②
として、ラグランジュの未定乗数法を使う。
fx=λgx → 12x+4√3y=λ2x
fy=λgy → 4√3x+20y=λ2y
λを消して
(6x+2√3y)/x=λ=(2√3x+10y)/y → 6+2√3(y/x)=2√3(x/y)+10
→ -4+2√3u=(2√3)/u → u²-(2/√3)u-1=0
→ u=1/√3±√(1/3+1)=1/√3±2/√3=√3 or -1/√3
u=y/x だから
y=√3x or -x/√3
として、②にいれて
y=√3x のとき、x=±1/√2 → y=±√(3/2) (複合同順)・・・③
y=-x/√3 のとき、x=±(√3)/2 → y=∓1/2 (複合同順)・・・④
有界閉集合上(g=0)の連続関数 f は最大最小を持ち、fが微分可能なら
極値でもある。したがって、それらの候補である停留点③④を①に代
入して、最大最小を選べばよい。
f(±1/√2, ±√(3/2))=6/2+(4√3)(1/√2)√(3/2)+10・3/2=24・・・⑤
f(±(√3)/2, ∓1/2)=6・3/4+(4√3)(-(√3)/4)+10/4=4・・・⑥
ゆえに、⑤が最大値、⑥が最小値。
この回答へのお礼
お礼日時:2023/01/10 00:09
大変わかりやすい説明ありがとうございます!自分でやった段階でもう少し根気よく考えていたらλが消せそうだったので悔しいですがとても勉強になりました。本当に助かりました。
No.3
- 回答日時:
目的関数を
f(x,y) = 6(x^2) + (4√3)xy + 10(y^2)
と書くことにして、せっかく
x^2+y^2=1
だというんだから f(cosθ, sinθ) を考える。すると、倍角公式を使って
f(cosθ, sinθ) = (4√3)(sinθ)(cosθ) -2((cosθ)^2 - (sinθ)^2) + 8
= -2cos(2θ) + (2√3)sin(2θ) + 8
= 4cos(2θ + φ) + 8
cos(2θ + φ)は(φがどうであれ)最大が1、最小が-1だから、fの最大値は 4 + 8 = 12、最小値は -4 + 8 = 4。
ついでに、fが最大になるのは 2θ + φ = 0 のときで、最小になるのは 2θ + φ= π のとき。そして φ = -arctan((2√3)/(-2)) = arctan(√3) = π/3。
No.2
- 回答日時:
訂正
③が間違いなので、③⑤を訂正。
u=y/x だから
y=√3x or -x/√3
として、②にいれて
y=√3x のとき、x=±1/2 → y=±(√3)/2 (複合同順)・・・③
y=-x/√3 のとき、x=±(√3)/2 → y=∓1/2 (複合同順)・・・④
有界閉集合上(g=0)の連続関数 f は最大最小を持ち、fが微分可能なら
極値でもある。したがって、それらの候補である停留点③④を①に代
入して、最大最小を選べばよい。
f(±1/2, ±(√3)/2)=6/4+(4√3)(1/2)(√3)/2+10・3/4=12・・・⑤
f(±(√3)/2, ∓1/2)=6・3/4+(4√3)(-(√3)/4)+10/4=4・・・⑥
ゆえに、⑤が最大値、⑥が最小値。
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