固有多項式の係数について（線形代数）

画像の問題について質問です。固有多項式のn次の係数が(-1)^nなのはいいのですがn-1次の係数も(-1)^nになっているのはなぜですか。(-1)^(n-1)だと思いました。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/30 20:26

例えば

n=2の場合

A
=
(a,b)
(c,d)

φ(t)
=
|A-tE|
=
|a-t,b|
|c,d-t|
=
(a-t)(d-t)-bc
=
t^2-(a+d)t+ad-bc
=
t^2-(trA)t+|A|

だから

私も
(-1)^(n-1)
だと思います

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/30 20:29

いや、あなたのほうが正しい。

おそらく、テキストのミスプリでしょう。

「固有多項式」の定義を φ(t) = det(A-tE) にしているんですね。
φ(t) = det(ｔE-A) にする流儀もあって、そのほうが何かと便利なんですが...
ともあれ、出題に従って φ(t) = det(A-tE) 流をとるとして、
(-1)^n φ(t) = (-1)^n det(A-tE) = det(tE-A) です。　←[＊]
det(tE-A) は A の固有値を根にもつモニック(最大次の係数が1)な多項式なので、
TrA が A の固有値の和であることを知って入れば、根と係数の関係から
det(tE-A) = t^n - (TrA)t^(n-1) + ... であることが判ります。
これを [＊] へ代入すれば、
φ(t) = (-1)^n t^n - (-1)^n (TrA)t^(n-1) + ...
　　= (-1)^n t^n + (-1)^(n-1) (TrA)t^(n-1) + ...
ですね。