「z=1を中心とするローラン展開の範囲 も z=-1を中心とするローラン展開の範囲 も どちらも 特

「z=1を中心とするローラン展開の範囲
も
z=-1を中心とするローラン展開の範囲
も
どちらも
特異点1,-1を含まない」...①
と言われたのですが、

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の時、
n≧-1の時、z=1が特異点として含まれましたが、
①に書いてあることと矛盾しています

どうか画像の図などを使ってわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足ですいません。
  
  (1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。
  
  のr>0は
  「ii)r>2の場合
  中心1半径r>2の円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r>2
  です
  f(z)=1/(z^2-1)
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}」の|z-1|<rのzに1を代入してr>0としたものでしょうか？
  
  仮にそうだとしたら、
  (1’) の書き方みたいな感じに、0<r>2とすると、|z-1|<r>2の範囲に特異点z=1,z=-1が含まれますが、
  (1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に特異点z=1 は含まれますね。
  
  どうか答えて頂けるとありがたいです。

    補足日時：2023/03/04 20:12

• 理解できたかはわかりませんが、不等式に関する話をされているのは理解出来ました。
  
  (1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。
  
  とは、f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開のi)のn≧-1,n≦-2やii)のn≧-1,n≦-2の場合わけに関係なく、
  
  r>0 とすると、z=1を|z-1|<rに代入するとr>0となり、不等式として成り立つ。だから
  「r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。」と言っただけなのですね？
  
  
  私はf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開のi)のn≧-1,n≦-2やii)のn≧-1,n≦-2の場合わけにに関する質問をしていたつもりなのですが、何故か不等式の話になっていたのだと思いますが、
  何故不等式の話になったでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/03/08 13:35

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/08 16:03

さすがにもう、やんなってきたな。

＞ 質問よりi)のn≧-1の時には|z-1l<r<2 の範囲にz=1は特異点として含まれますね。

話が No.6 より前に戻ってるじゃない。
不等式 |z-1l<r<2 が表す範囲に z=1 は含まれるが、
|z-1l<r<2 という式に n なんて現れてないでしょ？
そもそも、|z-1l<r<2 の範囲に z=1 は「特異点として」含まれますね。って何？
不等式に特異点なんてないでしょ。

|z-1l<r<2 の範囲に z=1 が含まれることも、
n≧-1 の時に z=1 が 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} の特異点であることも
正しいが、それは
z=1 が 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} の z=1 を中心とするローラン展開の
収束域に含まれることを意味しないよ？

この回答へのお礼

不快にさせてしまい、本当にごめんなさい。

>> 不等式に特異点なんてないでしょ。
f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開と不等式を考慮した上で特異点という言葉を使いました。

伝え方が悪くて申し訳ありません。


>> |z-1l<r<2 の範囲に z=1 が含まれることも、
n≧-1 の時に z=1 が 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} の特異点であることも
正しいが、それは
z=1 が 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} の z=1 を中心とするローラン展開の
収束域に含まれることを意味しないよ？

はい、大丈夫です。
n≧-1の時、z=1が特異点であり、z=1を中心とするg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のローラン展開の特異点であるため、
n≧-1の時、z=1の時はg(z)を含むa(n)は収束せずに発散します。
(収束しないためコーシーの積分定理によりa(n)=0とはならず、a(n)=の式が作れるとわかりました。)

n≧-1の時、 z=1が特異点であるため、
z=1を中心とするg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}のローラン展開の「収束域」に含まれない事は理解しています。

お礼日時：2023/03/08 16:22

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/08 13:48

＞ 何故不等式の話になったでしょうか？

不等式の話をしたから。したのは自分。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほどです。

「z=1を中心とするローラン展開の範囲
も
z=-1を中心とするローラン展開の範囲
も
どちらも
特異点1,-1を含まない」...①
に関しては、
特異点1,-1を含まない「場合」もあるとわかりました。


最後に、
私は
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の時、
n≧-1の時、z=1が特異点として含まれる」
と言ったら
「(1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。」
と頂きましたが、これはn≧-1の時、z=1が特異点として含まれる事は前提で、その裏付けとして
「(1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は(特異点として)含まれる。」と言っただけなのでしょうか？





「(2)　1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} (ただし n≧-1) の z = 1 を中心とするローラン展開
　　の収束域 0 < ｜z-1｜ < 2 に z = 1 は含まれない。」

はい。
n≧-1の時、z=1がg(z)の特異点だとわかったため、g(z)を含むa(n)は収束せずに発散するため、z=1を中心にローラン展開するとわかり、
「(2)　1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} (ただし n≧-1) の z = 1 を中心とするローラン展開
　　の収束域 0 < ｜z-1｜ < 2 に z = 1 は含まれない。」
と言えるわけがわかりました。





「(1)　0<r<2 の場合、|z-1l<r<2 の範囲に z=1 は含まれる。」

質問よりi)のn≧-1の時には|z-1l<r<2 の範囲にz=1は特異点として含まれますね。

お礼日時：2023/03/08 14:53

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/05 09:19

(A)

(1) の文には、特異点がどうのこうのという話は一切含まれていない。
ある関数の特異点に関する議論から (1) を切り出してきたとしても、
そういう背景と (1) の内容そのものには特に何の関係もない。
不等式は、ただの不等式でしかない。

(B)
(1) の z と (2) の z が同じ変数かどうかは、
(1) や (2) の文そのものには書かれていない情報だ。
それぞれの記述を切り出してきたもとの文脈に
どう書かれていたか調べなければ、それは判らない。

それ以前に、(1) の z=1 も (2) の z=1 も
等式であって「変数」ではないね。

(C)
(1) と (2) で z=1 が含まれる/含まれない の結論が違う理由は、
条件に 0<|z-1| が入っているかどうかが違うからだ。
｜z-1｜<2 は z=1 を含み、
0<｜z-1｜<2 は z=1 を含まない。
これは単に不等式が表す領域の話で、
あなたがその 0<｜z-1｜<2 を何の議論から切り出してきたのかは
この際何の関係もない。

(D)
(1’) の文をちゃんと読んでみよう。
|z-1|<r の範囲に z=1 が含まれるってことは
|z-1|<r の範囲に z=1 が含まれるってことで、
これは不等式の話でしかない。
この文に z=1 が特異点か特異点でないかの情報は含まれていない。

これだけくどくど書けば、さすがに少しは伝わるかな？

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/04 20:39

その確認はなんのためにしているんだ? #3 に「r>0 を実数とすると |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる」と書いておいたし #4 でも「r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる」って書かれているんだが, これらの文章が読めず意味も全く理解できなかったとでもいうのか?

繰り返して書いておくけど, r>0 なら |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれるよ. ただ, そのことに「z=1 が特異点である」かどうかは全く関係ない. というかどこから「特異点」なんてものが湧いてでたんだよ.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> というかどこから「特異点」なんてものが湧いてでたんだよ.


今回はf(z)=1/(z^2-1)の式についてローラン展開をしています。
故に、z=1,-1を代入すると分母が0になるため、特異点だと考えています。

そのため、r>0 なら |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれるよ、と言われた際にz=1が含まれるなら、f(z)の式にz=1が代入されるわけですから、f(z)の分母は0になります。すなわちz=1は特異点である事を表しています。
故にz=1が「特異点」だと言う考えが湧いてきたのです。

わかりにくくてすいません。

お礼日時：2023/03/05 07:08

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/04 13:35

いや、だから...

(1)　0<r<2 の場合、|z-1l<r<2 の範囲に z=1 は含まれる。
(2)　1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} (ただし n≧-1) の z = 1 を中心とするローラン展開
　　の収束域 0 < ｜z-1｜ < 2 に z = 1 は含まれない。
(1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。
わけだが、何の話をしている？

混乱するも何も、(1) の事実と (2) の事実の間には何の関係もない。
ひょっとしてまた、z と r の間に質問文には書かれていない
何か暗黙の関係があるとかいう話なのか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
少し整理します。

(1)　0<r<2 の場合、|z-1l<r<2 の範囲に z=1 は含まれる。

(2)　1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} (ただし n≧-1) の z = 1 を中心とするローラン展開
　　の収束域 0 < ｜z-1｜ < 2 に z = 1 は含まれない。
(1’)　r>0 とすると、|z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる。


(A)
(1)より、|z-1l<r<2 の範囲に含まれるってことはz=1は特異点と言うことですか？
というのも含まれてしまうと分母0になり式なさが成り立たなくなるためです。

(B)
(1)のz=1と(2)の中心点z=1は同じ変数であり、別物でしょうか？

(C)
(2)では(1)とは違い、n≧-1という条件があるため、
0<|z-1|<2 に z = 1が含まれないわけでしょうか？
含まれないって事はz=1は特異点という事ですか？
というのも、特異点の時はa(n)の式が作れて、f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開が導けるためです。

(D) r>0 とすると、|z-1|<rの範囲に z=1 は含まれる。、|z-1|<rの範囲にz=1含まれるってことはz=1は特異点と言うことですか？


どうかちゃんと理解したいのでどうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/03/04 14:40

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/04 09:50

あたりまえだけど, r>0 を実数とすると |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる. ただ, その範囲は「z=1 のまわりでのローラン展開」を考える範囲ではない.

ろくに理解もせずにグダグダやるのは時間の無駄. 寝てる方がはるかに有意義ってもんだ.

この回答へのお礼

>> ろくに理解もせずにグダグダやるのは時間の無駄. 寝てる方がはるかに有意義ってもんだ.

何度も読み直し、紙に書いているのですが、理解力の低さにぐうの音も出ません。

あの、質問なのですが、
「r>0 を実数とすると |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれる. ただ, その範囲は「z=1 のまわりでのローラン展開」を考える範囲ではない.」
とはどういう事でしょうか？

申し訳ないのですが、もう少しわかりやすく教えて頂きたいです。
理解力が低くてすいません。

r>0 を実数とすると |z-1|<r の範囲に z=1 は含まれるが、その範囲が「z=1 のまわりでのローラン展開」とは関係ないかのように言われて混乱しています。

お礼日時：2023/03/04 09:59

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/04 09:11

また、主語や目的語の欠けた文を並べていますね。

例によって何を言ってるのか判りません。

とりあえず、
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)} ただし n≧-1 という関数の
z = 1 を中心とするローラン展開の
収束域は 0 < ｜z-1｜ < 2 です。
この収束円環に z = 1 は含まれません。

誰が何を言って説明したかの経過以前に、
まず、事実を確認したほうがよいでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
文章が下手すぎてすいません。

あの、
i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の時、
n≧-1の時、z=1が特異点として含まれていますよね？

それは正しいですか？

お礼日時：2023/03/04 09:32

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/03/04 08:38

まず、ローラン展開とは、複素数平面上のある点を中心にして、その点の周りにおいて、ある関数を級数展開する方法です。

通常、ローラン展開では特異点を中心に展開するため、特異点を含まない領域での展開範囲には限界があります。

言われているように、中心1で半径rの円 |z-1|=r の内側 |z-1|<r<2 において、以下の関数を考えます。

f(z) = 1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

この関数は、z=-1 および z=1 のいずれかに特異点を持ちます。特に、n≧-1のとき、z=1 が1次の極であり、それ以上の極はありません。

このとき、半径rの円の内側には、1次の極を含みます。したがって、中心1で半径rの円の内側 |z-1|<r<2 での f(z) のローラン展開は、次のようになります。

f(z) = ∑(n=-1 から ∞まで) c_n (z-1)^n

ここで、c_n は次のようになります。

c_n = (1/{2πi}) ∫{|z-1|=r} f(z) (z-1)^{-n-1} dz

この展開範囲では、1次の極である z=1 を含むため、特異点を含まないという条件を満たしていません。したがって、①に書かれている条件と矛盾していることがわかります。

一方で、中心-1で半径rの円 |z+1|=r の内側 |-2<r<z| において、同じ関数 f(z) を考えると、特異点を含まない領域での展開範囲になります。したがって、この範囲では①の条件を満たします。

結論として、①に書かれている条件を満たす展開範囲を求める場合は、特異点を含まない領域を選ぶ必要があります。