f(z)=1/(z^2-1) について、C={|z||z+1|=r}の範囲でのローラン展開を導くまで

f(z)=1/(z^2-1)
について、C={|z||z+1|=r}の範囲でのローラン展開を導くまでを教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 補足致します。
  範囲は0<|z+1|<2です。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/07/31 12:47

• どうかmtrajcp様、お答えして頂けないでしょうか。
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/08/01 05:52

• 補足で画像に関して質問がございます。
  0<|z+1|<2の時、z=-1の時とz=1の時において、
  「z=-1は{z:|z+1|=r}の要素ではありません」、
  「z=1は{z:|z+1|=r}の要素ではありません」、
  と書いてありますが、要素がないって事はz=-1とz=1は{z:|z+1|=r}の要素に含まれていないため、a(n)の式は0になるという事でしょうか？
  
  あるいは、z=-1とz=1は{z:|z+1|=r}の要素に含まれていないため、a(n)の式が導けるわけでしょうか？
  
  正直、「{z:|z+1|=r}の要素」という文章の意味がいまいち理解できていません。
  ちゃんと理解したいので、どうかもう少し噛み砕いてわかりやすく「{z:|z+1|=r}の要素」の文章を詳しく説明して頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/08/01 11:40

• 追加で申し訳ありません。
  
  こちらの画像について質問があります。
  こちらの画像はz→-1の時に関する質問なのに、
  一つ前の補足に載せさせて頂きました画像に書いてある回答ではz=-1の時だけではなく、z=1の時の解説も含まれているのはなぜでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/08/01 13:32

• 度々申し訳ありません。
  
  どうか|z+1|<2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願い致します。
  
  お時間のある時で構いませんので、補足の質問にも答えてくださるとありがたいです。
  
  mtrajcp様、どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/08/03 00:49

• 度々失礼致します。
  
  
  WolframAlphaで画像のように式f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開したところ、
  f(z)=-1/{2(z+1)}-1/4*Σ[k=0,∞](z+1)^k/2^k
  と出てきたのですが、
  
  f(z)=-1/{2(z+1)}-1/4*Σ[k=0,∞](z+1)^k/2^k
  の式と載せさせて頂きました
  n≧-1の時の
  f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
  の式は同じでしょうか。
  
  仮に異なる式の場合はどちらが正しい式なのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

  
    補足日時：2023/08/03 01:18

• mtrajcp様、
  
  f(z)=1/(z^2-1)
  の|z+1|>2の時かつn≧-1の時あるいはn≦-2の時の場合わけを教えて頂けないでしょうか。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2023/08/12 14:43

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/11 06:09

図の通り

f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z+1|<2
の時の
z=-1
を中心とする、ローラン展開を
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z+1)^n
とした時
n≦-2の時a(n)=0
n≧-1の時a(n)=-1/2^(n+2)

この回答へのお礼

ありがとうございます。

出来ればf(z)=1/(z^2-1)
の|z+1|>2の時かつn≧-1の時あるいはn≦-2の時の場合わけを教えて下さい。

お礼日時：2023/08/11 12:55

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/08 16:28

（#8の最後の行に書いてある通り）

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=-1
を中心とする、ローラン展開は

1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1～∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
=
-1/{2(z+1)}-1/4-(z+1)/8-(z+1)^2/16-(z+1)^3/32-(z+1)^4/64-(z+1)^5/128-(z+1)^6/256-(z+1)^7/512-(z+1)^8/1024-(z+1)^9/2048-…………………

この回答へのお礼

mtrajcp様ありがとうございます。
ちなみに、|z+1|<2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願いできないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/08/10 22:14

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/01 16:50

f(z)=1/(z^2-1)

の
0<|z+1|<2
での
ローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z+1)^n

↓両辺に(z+1)をかけると

1/(z-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z+1)^(n+1)

z→-1のとき左辺は収束するから右辺も収束しなければならない
n≦-2 のとき
a(n)≠0と仮定すると
lim_{z→-1}a(n)(z+1)^(n+1)=∞
右辺が発散するから左辺が収束する事に矛盾するから

n≦-2のとき
a(n)=0
だから

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n

1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n

1/(z^2-1)=a(-1)/(z+1)+a(0)+a(1)(z+1)+a(2)(z+1)^2+…+a(n)(z+1)^n+…

↓両辺に(z+1)をかけると
1/(z-1)=a(-1)+a(0)(z+1)+a(1)(z+1)^2+a(2)(z+1)^3+…+a(n)(z+1)^(n+1)+…

↓n≧-1のとき
↓n+1回微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=a(n)
↓左右を入れ替えると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}

{1/(z-1)}'=-1/(z-1)^2
{1/(z-1)}"=2/(z-1)^3
{1/(z-1)}"'=-3!/(z-1)^4
{1/(z-1)}""=4!/(z-1)^5
…
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
だから

n≧-1のとき

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)

∴
1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1～∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n

この回答へのお礼

ありがとうございます！

あの、|z+1|>2の時のn≧-1時とn≦-2の時の解説もお願い致します。

お時間のある時で構いませんので、補足の質問にも答えてくださるとありがたいです。

mtrajcp様、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/08/01 18:09

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/01 10:54

f(z)=1/(z^2-1)

とすると
lim_{z→-1}(z+1)f(z)=lim_{z→-1}1/(z-1)=-1/2
だから
f(z)=1/(z^2-1)
は
z=-1で1位の極をもつから

f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z+1|<2
での
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n
1/(z^2-1)=a(-1)/(z+1)+a(0)+a(1)(z+1)+…+a(n)(z+1)^n+…
↓両辺に(z+1)をかけると
1/(z-1)=a(-1)+a(0)(z+1)+a(1)(z+1)^2+…+a(n)(z+1)^(n+1)+…
↓n+1回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=a(n)
↓左右を入れ替えると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}

{1/(z-1)}'=-1/(z-1)^2
{1/(z-1)}"=2/(z-1)^3
{1/(z-1)}"'=-3!/(z-1)^4
{1/(z-1)}""=4!/(z-1)^5
…
(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
だから

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)

∴
1/(z^2-1)
=
Σ_{n=-1～∞}{-1/2^(n+2)}(z+1)^n
=
-1/{2(z+1)}-1/4-(z+1)/8-(z+1)^2/16-(z+1)^3/32-(z+1)^4/64-(z+1)^5/128-(z+1)^6/256-(z+1)^7/512-(z+1)^8/1024-(z+1)^9/2048-…………………

この回答へのお礼

本当にありがとうございます！

あの、気になる事があるのですが、
0<|z+1|<2の時にn≧-1とn≦-2の場合分けはないのでしょうか？
もしある場合はn≧-1とn≦-2の場合分けも書いて頂けないでしょうか。

また、|z+1|>2の時のn≧-1とn≦-2の場合わけは存在しないのでしょうか？

お忙しい中申し訳ありませんが、どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/08/01 11:29

No.7 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/08/01 06:46

> 範囲は0<|z+1|<2です。

　「範囲」が
　　C={|z||z+1|=r}
から
　　0<|z+1|<2
に変わった理由は何か。
　そもそもローラン展開における「範囲」とは何か。
　2つの特異点と、「範囲」0<|z+1|<2 とはどういう関係になるのか。

　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13373088.html
でさんざんやったＱ＆Ａは何の役にも立たなかったのか。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/30 13:26

「C={|z||z+1|=r}の範囲」とはどのような「範囲」なのか.

集合の記法を理解するところに戻るべきかもよ.

No.5 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/07/30 08:28

おお、久しぶりにミスターローラン展開が出てきたかwwwwwwwwwwwwwwwwwww

　せめて

> C={|z||z+1|=r}の範囲

を図示してくれないと、誰も相手しないと思うぞwww

この回答へのお礼

図示？

お礼日時：2023/07/30 08:30