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制御工学の問題で、
K/{s(s+3)(s+4)+K}となるフィードバック系の伝達関数で、極の実部がー1以下になるようなKの値の範囲を求めよという問題がでたのですが、どのようにしてといたらよろしいでしょうか?
また極がー1以下になることで制御工学的にはどのような意味があるのでしょうか(こちらの方は、もしあればでいいです)
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

普通は、極の実部が負であるかどうかが問題だと思うのですが。

。(安定性判別)
-1というのはなんでしょうね。
安定性の余裕分でしょうか。

とりあえず、問題をとくだけなら、s=s'+1
とでもおいて、-1以下ではなくて、0の問題に直して、
ナイキストの安定性判別法
あるいは、フルビッツの安定性判別法を使えばいいと思います。
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「全て」の極の実部が-1以下となるKの範囲ですね。



伝達関数の分母は3次多項式ですから、
3次方程式の解の公式が使えますが、
煩雑なので次の方法を試されてはどうでしょうか?

まず極が
(1) 3つとも実数の場合
(2) 1つが実数で残り2つが虚数の場合
に場合分けしましょう。

(1)の場合は,
y=s(s+3)(s+4)
y=-K
の二つのグラフが交点を2つ以上もつ場合と同じです。
ですから、高校数学の範囲で解けるはずです。

(2)の場合は、
s(s+3)(s+4)+Kの解をa,b,cとすれば, (cのみ実数)
2つの虚数は
a = R1 + jI1
b = R2 - jI2
ですから、実部はA=(a+b)/2ですね。
解と公式の関係から
 a+b+c = -7
 ab+bc+ca = 12
 abc = -K
が成り立つので、cをAで表してからKをAで
K=A^3+14A^2+61A+84
とかけるはずです。
これもあとは
A=<-1 or c=<-1
の条件で高校数学で解けるはずです。

あと、極が負であるというのは
システムが安定(原点が漸近安定)
という意味ですね。
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