代数学で出された問題の一部なんですが、はっきり言ってさっぱり分かりません。
{φ|φ:R→R}の部分集合Fを適当に選んで、f、g∈Fに対し、f・g(x)=f(g(x))と・を定義する。
ここに、Rは実数の集合を表す。
(1)<F,・>が位数2の有限群になるFを求めよ。
(2)<F,・>が位数4の有限群になるFを求めよ。
まず、問題にはいる前の説明のところから分かりません。
>f、g∈F
ということなので、f、gは1とか2などの具体的な要素かと思ったんですが、
>f・g(x)=f(g(x))と・を定義する
とあるので、fとgは要素ではなく関数ということなんでしょうか?
でもそれだとf、g∈Fの意味がイマイチ分からないし…。
どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
No.3 です。
書き込んだ一般解に A の条件が書き漏れていましたので、補足させていただきます。
f(x) = x
g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
└ x ( x ∈ ¬ A )
ただし、A ⊂ R, A≠Φ, A≠{0}
また、任意の x ∈ A に対して、-x ∈ A となるもの。
このように定義した {f,g_A} = F が位数2の有限群になります。
お詫びついでに、位数4の有限群を書くと、以下のようになります。
f(x) = x
g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
└ x ( x ∈ ¬ A )
g_B(x) = ┌ -x ( x ∈ B )
└ x ( x ∈ ¬ B )
g_AB(x)= g_A( g_B (x))
ただし、A,B ⊂ R, A,B≠Φ, A,B≠{0}, A≠B
また、任意の x ∈ A に対して、-x ∈ A
任意の x ∈ B に対して、-x ∈ B
となるもの。
このように定義したとき、{f, g_A, g_B, g_AB} は位数4の有限群になります。
No.3の回答のお礼のところで、
>『¬ A 』とはなんなのでしょうか?
>『-A』とは違うのでしょうか?
と書いたのですが、No.4の回答も読んで考えてみると、
『¬ A 』とは『Aのバー』という事なんでしょうか?
それだと納得いくような・・・
ただ、新たに疑問ができてしまいました。
> f(x) = x
> g_A(x) = ┌ -x ( x ∈ A )
> └ x ( x ∈ ¬ A )
とありますが、これだと x ∈ ¬ A のとき、f(x)とg_A(x)が同じものですよね。
これっていいんですか?
No.2の回答の
>1. F={I,-I} ⇒ F:位数2になる
だったら、Iと-Iは同じになることがないので、明らかに違うものですよね?
ん? というか、要素が関数なのだから、これでいいのか・・・
とんでもなく的外れな疑問だったらすいません。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
まず、
f:R→R
とか
g:R^2 → R
というのは分かりますでしょうか?
ここでは、f は、1変数関数で、g は2変数関数ですよね。
そのため、{f|f:R→R}とかけば、これは1変数関数の集合ですよね。
ここで、問題文の表記に戻ると、
F というのは、1変数関数の集合
f ∈ F というのは、f は1変数関数の集合の元(つまり1変数関数)
ということです。
というわけで、問題文を読み砕くと、
1変数関数 f, g に対して、(f・g) という結合を f・g(x) = f(g(x)) とする。
このとき、1変数関数の部分集合で、位数が2(又は4)になるものを求めよ。
という形だと思います。
まず、位数が2のものの例は簡単ですよね。
#2 さんも書かれているように、
f(x) = x
g(x) = -x
というように定義して、
F = { f, g }
と考えれば、f と g は位数2の1変数関数の部分集合になります。
例を求めよと書いていないので、一般に求めるのであれば、
f(x) = x
g(x) = ┌ x ( x ∈ A )
└ -x ( x ∈ ¬ A )
ただし、A ⊂ R
となります。
位数4のものはちょっと難しいかも。
ちなみに、#2 さんのは間違っていて、F の要素は、群をなすためには、
どれも全単射である必要があります。
これは、群であれば逆像(逆関数)が存在する必要があるからです。
位数2の一般解にヒントが隠されていますので、考えてみてください。
長文になってしまい失礼しました。
こんな長文の回答本当にありがとうございます。
問題も分かりやすいように噛み砕いて書き直してくださっていて、至れり尽せりですね。
ただ、ちょっと分からないんですが、
>g(x) = ┌ x ( x ∈ A )
> └ -x ( x ∈ ¬ A )
の『¬ A 』とはなんなのでしょうか?
『-A』とは違うのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
I:恒等写像とします
1. F={I,-I} ⇒ F:位数2になる
2. F={I,-I,I(+)∪(-I(-)),-I(+)∪(I(-))} ⇒ F:位数4になる
ここで-Iはマイナス1倍する写像
I(+)∪(-I(-))(x)={x>=0⇒x,x<0⇒-x}なる写像
-I(+)∪(I(-))(x)={x>=0⇒-x,x<0⇒x}なる写像
と思いますが、群になる(・について閉じてる、結合則、単位元の存在、逆元の存在を示す)ことについて確かめてみて下さい
集合Fの要素は『具体的な数字』と思い込んでいました。
文字というか、変数というか、そう言うものを使えばいいんですね。
ありがとうございました。
お礼が遅れてすいませんでした。
No.1
- 回答日時:
まず、{φ|φ:R→R}を理解されてますでしょうか?
{}は集合を表す記号です。
R→Rは「実数の集合を実数の集合に写す」ことを意味します。
つまり、ある実数があったときにそれを別の実数に写すφというものの集合を定義したことになります。
たとえば、f(x)=x+3というのも、ある実数を3足した実数に変換するものです。
したがって、{φ|φ:R→R}は、
そういう関数(写像、変換)の集合を表しています。
「要素」と言うのは集合に属する1つのものを表します。
ですから、ここでは実数を実数に写す「関数の集合」を定義して、その部分集合Fの要素として、関数fと関数gを取り出した時の話をしています。
あとは、位数や有限群の定義から問題を解いてみて下さい。
「回答があったらメールで知らせる」のチェックをし忘れていたみたいで、回答があったことに全然気が付きませんでした。
お礼が遅れてすいません。
やっぱり、f,gは関数だったですね。
丁寧な説明ありがとうございました。
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