有理数体Qに√2を加えた集合{Q, √2}

有理数体Qに√2を加えた集合{Q, √2}の元αはp,q∈Qとすると
α=p+(√2)q
と表せるというのがしっくりきません。
このばあいp=0、q=2という有理数を考えると
α=2√2で無理数ですよね？
無理数は√2しか加えてないのに2√2という無理数まで入ってきてるんですけど、どういうことなんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： liar_adan 回答日時： 2008/11/05 09:13

たとえば以下のような記述でしょうか。

「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合 {Q, √2} を考えて見ましょう。この集合は、a, b ∈ Q として、
a ＋ b √2
と表すことができ、……」
http://ufcpp.net/study/group/extensionfield.html …

この記述の理解として、
「2√2という無理数まで入ってきてる」というのは妥当だと思います。
普通、こう書かれれば、上記のa、b(質問文ではp、q)はQの任意の元を取りうると考えていいはずです。

「集合」として考えると成り立ちませんが、
「体」として考えると、言っていることはわかります。

問題の文の冒頭では、
「有理数の集合Qに√2を加えた……」
ではなく、
「有理数体Qに√2を加えた……」
と書いてますね。たぶんここがミソです。
「体の話をしているんだから、『加える』と言ったら、
『体の拡大』(もしくは『群の拡大』)として考えなさいよ」
という前提で書いているのです。

ただ、書き方としてはちょっと問題がありますね。
厳密に書けば
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合」ではなく
「有理数体 Q に、無理数 √2 を加えた集合を含む最小の群」
となるはずです。

まあ、数学も高等数学になると、細かいところで文字数を取るわけにもいかないので、
この手の省略はけっこうあります。
面倒でしょうが、慣れてください。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/05 11:06

うん, ちょっと書き方に問題があるような気がする.

だって, 集合 {Q, √2} って要素が 2つしかないし... って, そういうことじゃないよなぁ.
まあ, ここで言っていることはほかの人も言っていますが「有理数体 Q に √2 を加えてできる拡大体」ということです. だからそのように書けるよ, ということで.
でも, 文字数を減らすなら「集合」と書くより「体」と書いた方が節約できる気がするのはなぜだろう＞#3.

No.2 回答者： fef 回答日時： 2008/11/05 03:33

主張の順序を入れ替えてはいけませんよ．

命題は，任意の alpha に対して
　alpha = p + q * sqrt(2)
を満たすような p, q が存在する，と言っています．
任意の p, q に対して alpha が存在するとは言っていません．


有理数体 Q に sqrt(2) を加えた集合
　{x | x in Q or x = sqrt(2)}
を S とします．
定義から，alpha in S ならば alpha in Q もしくは alpha = sqrt(2) ですよね．

ここで，alpha in Q とすると，
　p := alpha (in Q),　q := 0 (in Q)
とおくことで
　alpha = p + q * sqrt(2)
と表せます．
また，alpha = sqrt(2) とすると，
　p := 0 (in Q),　q := 1 (in Q)
とおくことで
　alpha = p + q * sqrt(2)
と表せます．
確かに，任意の alpha in S は，ある p, q in Q に対して
　alpha = p + q * sqrt(2)
と書けていますよね．

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/11/05 02:31

>有理数体Qに√2を加えた集合{Q, √2}の元αはp,q∈Qとすると

>α=p+(√2)q
>と表せるというのがしっくりきません。

「加えた」の意味が不明瞭ですね。単純に集合として √2 を追加しただけなら、当然そのような命題は成立しません。

恐らく Q と √2 を含む最小の体を考えているのでしょう。