数学の問題です。 y＝x^4+4x^3+5x^2+2x+3について、 ⑴x^2+2x＝tとおくときy

数学の問題です。

y＝x^4+4x^3+5x^2+2x+3について、
⑴x^2+2x＝tとおくときyをtで表せ←これはわかりました。
⑵ 1≧x≧-2 のとき、tのとりうる値の範囲を求めないさい。
⑵を教えてください。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/14 05:49

-2≦x≦1 のとき

t=x^2+2x=(x+1)^2-1
のとりうる値の範囲は
-1≦t≦3

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/13 15:49

x²+2x=t とするのですから 、

t=x²+2x=x(x+2) で t を縦軸としたグラフを考えると、
x=0 と -2 で x 軸と交わる 下に凸な 放物線になります。
従って 軸は0 と -2 の真ん中 x=-1 となります。
つまり 1≦x≦-2 では t の取り得る範囲は、
最小が 軸の x=-1 のとき、最大は 軸より離れている x=1 のときです。
x=-1 で t=-1, x=1 で t=3　つまり -1≦t≦3 です。

尚、質問に有る「1≧x≧-2 のとき」は 問題に有った通りの書き方ですか。
「-2≦x≦1 」の様に 右側を 大きな数字にすることが多いです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/12 23:02

(1) x^2 + 2x = t とおけば

　y = x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 3
　　= x^2 (x^2 + 2x) + 2x^3 + 5x^2 + 2x + 3
　　= x^2 (x^2 + 2x) + 2x(x^2 + 2x) + x^2 + 2x + 3
　　= tx^2 + 2tx + t + 3
　　= t(x^2 + 2x) + t + 3
　　= t^2 + t + 3　　　　①

(2) t は x の二次関数ですから、通常の二次関数の最大、最小の問題です。
関数を「平方完成」形にすればよいです。
　t = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
このグラフは
　・下に凸の放物線
　・頂点は (-1, -1)
　・軸は x = -1
なので、-2≦x≦1 の範囲では
　最小：x=-1 のとき -1　（頂点）
　最大：x=1 のとき 3　（軸から遠い方の端点）
つまり
　-1≦t≦3
です。

次には、この t の範囲を使って、①の最大・最小を求めるのかな？
同じように「平方完成」してグラフの概形を書けばよい。

No.1 回答者： kuronorei 回答日時： 2023/04/12 22:23

x^2+2x1に1≧x≧-2 の1と-2を代入して出てきた値を不等号で表してください。