正体のわからない(^O^)２つの確率変数 X と Y の E[X]、E[Y]、E[XY]

以下は２つの確率変数 X と Y の E[X]、E[Y]、E[XY] を計算するために適当に作った問題です。適当に作ったので、X と Y が独立かどうかわかりません。計算したら E[XY]≠E[X]E[Y] となったのですが、合ってますでしょうか？

[X]/[Y] [1]　　　　[2]　　　 [3]　　　 [4]　　　[P(X=x)]
[1]　　[0.02]　　[0.06]　　[0.50]　　[0.01]　　　[0.59]
[2]　　[0.04]　　[0.02]　　[0.27]　　[0.00]　　　[0.33]
[3]　　[0.00]　　[0.00]　　[0.02]　　[0.01]　　　[0.03]
[4]　　[0.01]　　[0.01]　　[0.02]　　[0.01]　　　[0.05]
--------------------------------------------------------------
P(Y=y) [0.07]　　[0.09]　　[0.81]　　[0.03]　　　　[1]

E[X] = 1(0.02+0.06+0.5+0.01) + 2(0.04+0.02+0.27+0)
　　 + 3(0+0+0.02+0.01) + 4(0.01+0.01+0.02+0.01) = 1.54

E[Y] = 1(0.02+0.04+0+0.01)+2(0.06+0.02+0+0.01)
　　 + 3(0.5+0.27+0.02+0.02)+4(0.01+0+0.01+0.01) = 2.8

E[X]E[Y] = 1.54*2.8 = 4.312

　XY を計算して表にすると

[X]/[Y]　[1]　[2]　[ 3]　[ 4]
[1]　　　[1]　[2]　[ 3]　[ 4]
[2]　　　[2]　[4]　[ 6]　[ 8]
[3]　　　[3]　[6]　[ 9]　[12]
[4]　　　[4]　[8]　[12]　[16]

なので

　　E[XY] = 1*0.02 + 2*0.06 + 3*0.50 + 4*0.01
　　　　　+ 2*0.04 + 4*0.02 + 6*0.27 + 8*0.00
　　　　　+ 3*0.00 + 6*0.00 + 9*0.02 + 12*0.01
　　　　　+ 4*0.01 + 8*0.01 + 12*0.02 + 16*0.01
　　　　　= 1.68 + 1.78 + 0.3 + 0.52 = 4.28

∴E[XY]≠E[X]E[Y]

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/17 13:21

検算してみたけど、計算は合ってる。

ΣP(X) = ΣP(Y) = 1 もちゃんと成り立ってるし、
E[X], E[Y], E[XY] の値も正しい。

計算する前から、P(X,Y) の表を見て
X と Y の分布が独立でないことは判っている。
P(X,Y) = P(X)P(Y) でなければ、
E[X,Y] = E[X]E[Y] になるとは限らないから
一致しなくても別にかまわない。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2023/04/17 18:20

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/17 09:38

はい、そういう計算になったのなら、そういうことだと思います。

それ以上でも、それ以下でもありありません。