累積密度関数と累積分布関数の違いを教えてください

累積密度関数と累積分布関数の違いを教えてください

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/21 16:31

数学的には、yhr2さんのおっしゃるとおりかも。

ちょっと例外の話を・・・。
私のような、企業の実務者は、添付図のような、これまでも、これからも延々と続く事象の一部を切り取ったケースで、全体の面積が100％とは定まらないようなときに「累積分布見ようか」とか言ったりします。

３つのグラフの
一番上は、加工寸法の規格に対する増減です。縦軸の０が規格です。
二番目は、その「累積分布関数」のグラフです。変曲点が見られます。
三番目は、工程平均がこのように変化した、という技術者の解釈です。

なお、一番上のグラフに曲線が入っていますが、なんちゃってデータサイエンティストが解析するとスプライン近似曲線を入れるよな、という悪い例です。

私は、このような文脈で、「累積密度」と「累積分布」という言葉の使い分けをしています。「累積密度関数」は０～１まで単調増加する関数ですが、「累積分布関数」はそうとはなりません。

申し添えますと、累積分布関数のグラフは、工程能力調査の重要な１アイテムです。変化点を可視化できます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/21 11:06

「累積密度関数」とは、ふつう言わないのでは？

連続分布をする場合の、変数に対する出現値の関係を表す「分布関数」があった場合に、

(a) その分布関数を -∞～+∞ で積分したものが「１」（全体確率）になるように規格化したものが「確率密度関数」
（たとえば50人のクラスの試験結果で、0～100点の全体（つまり「50人」全体）が「１」となるように規格化したもの）

(b) 「確率密度関数」を「-∞～その変数の値」で積分したものが「累積分布関数」
（言い換えれば「その変数以下である確率」を表す関数）

ということかと思います。

「累積分布関数」も「確率」を表すものであり、実際の「分布量」を表す「その変数以下である出現値」を表すものではないと思います。
たとえば50人のクラスの試験結果で、「ある得点以下の人数」を表す関数（「60点以下の人数が８人である」というようなもの）を「累積分布関数」とは呼ばないということ。
あくまで「60点以下の出現確率が0.16である」というのが「累積分布関数」でしょう。

その場その場で「ここではこういう意味で使う」と定義して使えば何の問題もありませんが、一般的な使い方だと上に書いたようなものでしょう。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/05/20 22:43

累積密度関数は、確率密度関数（全体の面積は１＝全体で100％だから）をー∞からｘまで積分したもの。

縦軸は０～１までの値を取る。

累積分布関数は、分布関数（確率密度関数のように全体の面積が１という制約はない）をその分布の横軸の最小値から所定の値まで積分したもの。
例えば、横軸を時間として、縦軸に自動車の時速の分布を描いたグラフがあるとすると、０時間から１時間まで積分すれば１時間で走行した距離になる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/20 17:25

それぞれの定義を教えてください.