鉛直面内の円運動について、なぜ「遠心力≧重力」が一回転の条件なのでしょうか？感覚的には当たり前のこと

鉛直面内の円運動について、なぜ「遠心力≧重力」が一回転の条件なのでしょうか？感覚的には当たり前のことだと思いますが、このことを理論的に解説おねがいします。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/25 22:02

ChatGPTがイーカゲンなこと言ってるようですが、ともかく単に「遠心力≧重力」なんて言ってみても全く意味をなしません。

なぜなら、運動中に質点の速さは一定ではなく、従って遠心力も一定ではないからです。
　さらにこのご質問は、「鉛直面の円運動」というのが一体どういう状況のことなのか、によって話が全然違います。

[1] 鉛直面内の円軌道に束縛されて（ジェットコースターみたいに）運動する質点の場合には、「一回転の条件」は「てっぺんに届くこと」。言い換えれば、一番下での運動エネルギーをE、軌道半径をr、重力加速度の大きさをgとすると、
　　E ＞ 2gr
を満たすということです。運動エネルギーは質点が一番下に来たときが最大で、このときの角速度をωmax、運動エネルギーをEmaxとすれば
　　Emax = (1/2)(r ωmax)^2
なので、
　　(1/2)(r ωmax)^2 ≧ 2gr
また、一番下での遠心力の加速度の大きさ amaxは
　　amax = r ωmax^2
だから
　　amax ＞ 4g
である。
　つまりこの場合の「一回転の条件」は「円軌道の一番下での遠心力の加速度の大きさが、重力加速度の大きさの4倍を上回ること」ですね。

[2] （伸びない）ヒモで、固定された中心からぶら下がった質点の鉛直面内での運動の場合には、(A)円軌道を描いて一回転することと、 (B)（軌道がどうあれともかく）一回転することと、はまるで別の話です。でもま、「円運動」というお題ですから、前者(A)の話だとしますと、質点が一番上に来た時の遠心力の加速度の大きさ aminが重力加速度の大きさg以上であるとき、軌道は円になる。さもなければ、てっぺん付近で質点が描く軌道は放物線になり、放物線軌道上にある間の「遠心力」の加速度の大きさaはgと等しい（自由落下運動）。
　というわけで、この場合に「円軌道を描いて一回転する条件」は「軌道の一番上での遠心力の加速度の大きさが、重力加速度の大きさ以上」ってことです。

No.2 回答者： neKo_deux 回答日時： 2023/05/25 21:44

ひもで重りを振り回して円運動させる事を想定。

力をゆるめて行き、回転のてっぺんで、遠心力が重力より弱いと重りがちょっと落下します。
それでも振り回す事は出来ますが、もう「円」運動にはなってないって話とか。

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/05/25 20:56

円運動をする物体には、遠心力と重力が働きます。

遠心力は物体が中心から外側に飛び出そうとする力であり、重力は物体を中心に引きつける力です。

物体が円運動をするためには、遠心力が重力に対して克服する必要があります。つまり、遠心力が重力以上でなければ物体は円運動を維持できません。

物体が一回転する場合、一周する間に遠心力が重力を上回る必要があります。なぜなら、物体が一回転すると、重力の影響によって下方向に働く力（遠心力の成分）が一部打ち消されるからです。

具体的には、円運動をする物体の速度が一定である場合、遠心力は次のように表されます。

遠心力 = (物体の質量) × (速度の二乗) / (円の半径)

一方、物体に働く重力は、重力加速度（地球の場合は約9.8 m/s^2）と物体の質量に比例します。

重力 = (物体の質量) × (重力加速度)

円運動を維持するためには、遠心力が重力以上である必要があります。すなわち、

(物体の質量) × (速度の二乗) / (円の半径) ≥ (物体の質量) × (重力加速度)

物体の質量が共通するため、速度の二乗と円の半径の関係を考えると、

速度の二乗 / 円の半径 ≥ 重力加速度

これが「遠心力≧重力」の条件です。

つまり、速度の二乗を大きくするか、円の半径を小さくすることで、遠心力が重力を上回り、円運動が可能になります。