力学的エネルギー保存則について

図のように、長さL、密度が一様な質量Ｍの細い棒の端の点Ａに、大きさが無視できる質量ｍの質点が取り付けられた物体の運動について考える。この物体は回転軸の周りで自由に回転できるように置かれている。重力加速度の大きさをg、慣性モーメントをＩ=(4/3)mL^2とする。
Q. 点Ａが最下点にきたときの点Ａに速さvを求めよ。ただし、時刻 t=0のとき、θ=θo、dθ/dt=0である。
A. 棒の角速度をωとする。力学的エネルギー保存則より、 (M+m)gXog(1-cosθo)=(1/2)Iω^2
ここに、ω=v/Lに代入すると v=(3/2)√gL(1-cosθo)

解法が正しいか不安です。大きさが無視できる質点の運動エネルギーは考慮するべきでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/06 20:01

O回りの棒単体の慣性モーメントは　　　mL²/3

それに先端の質点mの慣性モーメントは　mL²
だから、全体の慣性モーメントは、これらを足して
　I=(4/3)mL²　(つまり、Mなどと言うものは出てこない)

運動方程式は x₀g → x₀として
　Iθ''=-2mgx₀sinθ
両辺にθ'を掛けてまとめると
　(Iθ'²/2)'=2mgx₀(cosθ)'
したがって、θ'=wとして
　Iw²/2-2mgx₀cosθ=一定

すると、θ=0の時のwは、θ=θ₀の時、w=dθ/dt=0だから
　Iw²/2-2mgx₀cos0=I・0²/2-2mgx₀cosθ₀
→ Iw²=4mgx₀(1-cosθ₀)
→ w=√{(4mgx₀/I)(1-cosθ₀)}=√{(3gx₀/L²)(1-cosθ₀)}
すると
　v=Lw=√{3gx₀(1-cosθ₀)}

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/06/07 16:10

M=m, xog=(3/4)L を仮定してるなら

そうなるけど、棒の太さが均一とは
書いてないから怪しい。

密度って線密度なのかな？

xog も使っとけばどうでもよいんだけど。

No.2 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/06/06 14:32

> 物体の重心に質量中心(M+m)が集中していると考え、重心の位置エネルギーだけを考慮するのは間違いでしょうか。

間違いじゃない。質問文中に Xog に関する言及が無かったので読み取れなかった。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/06/06 14:09

違います。

棒の重心の運動と、棒の先端についている質点の運動が、連結されて一体になって動いています。

棒の重心が角度θ動く事で獲得する位置エネルギーと、質点の運動が角度θ動く事で獲得する位置エネルギーを個別に計算して、足し算して下さい。

ここまでは高校物理の問題になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
物体の重心に質量中心(M+m)が集中していると考え、重心の位置エネルギーだけを考慮するのは間違いでしょうか。質点の大きさが無視できるということは関係ないのでしょうか。

お礼日時：2023/06/06 14:25