A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
求まらない。
一変数でも右極限と左極限が一致しないと極限がもとまらないように
2変数では、(0、0)に至る無数の経路で全ての極限値が一致しないと
いけない。この関数はそうならない。
No.2
- 回答日時:
「(x,y)→(0,0)の極限値」とは、「どんな経路で(0,0)に近づくかに関係なく、ひとつの有限の値に収束するとき、その値」ってことです。
こ質問の場合(No.1がお示しの通り)「どういう経路で(0,0)に近づくか」に依存して収束値が異なる。これはすなわち、「(x,y)→(0,0)の極限値」は存在しない、ってことです。
実際どうなってるんだか、極座標にしてみるとよくわかるでしょう。
x = r cosθ, y=r sinθ
と変換すると、
与式 = ((r cosθ)^2 - (r sinθ)^2) / ((r cosθ)^2 + (r sinθ)^2)
= cos(2θ)
つまり与式は、rとは無関係に、ただθだけに依存して-1〜1の範囲の値になる。
No.1
- 回答日時:
(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{x→0}-y^2/y^2
=-1
lim_{y→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
=lim_{y→0}x^2/x^2
=1≠-1=lim_{x→0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)
だから
lim_{x,y→0,0}(x^2-y^2)/(x^2+y^2)は存在しない
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