数学的帰納法の質問です。 n＝1、k，k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明で、なぜ、n=

数学的帰納法の質問です。
n＝1、k，k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明で、なぜ、n=kのときは「成り立つと仮定する」と、わざわざ仮定と表現するのですか？

No.7 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/02 23:05

「数学的帰納法」は、

「n=1,k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明」ではないです。
「数学的帰納法」とは、
『n=1のとき成り立ち、かつ、kのとき成り立つと仮定するとk+1のときも成り立つこと
を示すことができれば、すべての自然数nのとき成り立つことを示したと言ってよい。』
という公理です。この呪文は、細部まできっちり覚える必要があります。

「わざわざ仮定と表現する」のは、数学的帰納法の中にその文言が含まれている
からです。それ以上でもそれ以下でもありません。

なぜ『 』のように言えるか？については、情緒的には No.2 のようなことですが、
数学的に厳密な話としては、数学的帰納法は自然数を定義する公理群のひとつ
だから。平たく言うと、要するに自然数ってそういうものだからです。
それが数学の基礎なので、公理より前に遡って理由を探しても意味がありません。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/02 16:48

n=1、k，k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明ではありません

n=1のとき成り立つことを証明して
ある自然数kに対して
n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のとき成り立つことを証明するのです

例)
P(n)=[Σ_{m=1～n}m = n(n+1)/2]
とする

P(1)=[Σ_{m=1～1}m=1= 1(1+1)/2]は真

ある自然数kに対して
P(k)=[Σ_{m=1～k}m = k(k+1)/2]が真と仮定すると

Σ_{m=1～k}m = k(k+1)/2

↓両辺にk+1を加えると

(Σ_{m=1～k}m)+(k+1) = (k+1)+k(k+1)/2
Σ_{m=1～k+1}m = (k+1)(k+2)/2
だから
P(k+1)=[Σ_{m=1～k+1}m = (k+1)(k+2)/2]
も真
となるから
--------------------------
P(1)は真
P(1)が真だからP(2)も真
P(2)が真だからP(3)も真
P(3)が真だからP(4)も真
P(4)が真だからP(5)も真
P(5)が真だからP(6)も真
P(6)が真だからP(7)も真
P(7)が真だからP(8)も真
P(8)が真だからP(9)も真
…
P(k)が真だからP(k+1)も真
…
---------------------------
すべての自然数nに対して(P(n)が真だから)
Σ_{m=1～n}m = n(n+1)/2
が成り立つ

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/02 16:28

n=1、k，k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明ではありません

n=1のとき成り立つことを証明して
ある自然数kに対して
n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のとき成り立つことを証明するのです

例)
P(n)=[Σ_{m=1～n}m = n(n+1)/2]
とする

P(1)=[Σ_{m=1～1}m=1= 1(1+1)/2]は真

ある自然数kに対して
P(k)=[Σ_{m=1～k}m = k(k+1)/2]が真と仮定すると

Σ_{m=1～k}m = k(k+1)/2

↓両辺にk+1を加えると

(Σ_{m=1～k}m)+(k+1) = (k+1)+k(k+1)/2
Σ_{m=1～k+1}m = (k+1)(k+2)/2
だから
P(k+1)=[Σ_{m=1～k+1}m = (k+1)(k+2)/2]
も真
となるから
すべての自然数nに対して(P(n)が真だから)
Σ_{m=1～n}m = n(n+1)/2
が成り立つ

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/02 13:32

とりあえず, 数学的帰納法をきちんと理解することをお薦めするよ.

そうすれば, 「n＝1、k，k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明で」なんてトンチンカンなことを書かなくなるから.

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/07/02 13:25

n=1 のときは 実際に 代入すれば 正しいことが 分かりますね。

でも n=k の時って 代入しても 正しいことが 分かりませんね。
ですから n=k のときに 成り立つと仮定して、n=k+1 のときに
成り立つならば n は 全ての整数で成り立つ。
これが 数学的帰納法での 証明方法です。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/02 13:22

成り立つと仮定するとk+1でも成立つ、と言う論法だからです。

成り立たなかったら、この論法を使えません。

n=1の時に成立つ事を確認する。ここが出発点

k、k+1に順番の自然数を代入して進む。
k=1の時に成立つと仮定すると、1で成立つ事が確認出来てるから、k=2も成立つ事が結論付けられる。

k=2の時に成立つと仮定すると、k=2は上でokだったから、k=3も成立つ。

k=3の時に成立つと仮定すると、k=3は上でokだったから、k=4も成立つ。

・
・
こうやって連鎖反応で無限に進むわけ。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/02 12:03

＞わざわざ仮定と表現するのですか？

成り立つことを直接は証明できないから。