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a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))

締切済

  • 質問者：akitv
  • 質問日時：
  • 回答数：6件

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))}
※ f(z)=1/z^2-1

のa(n)の式は
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=1/(-2)^(n+2)

と導けるでしょうか？

質問者からの補足コメント

  • 編集致しました。

    f(z)=1/(z^2-1)について。
    a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}の公式を使うとして、
    f(z)=1/(z^2-1)よりk=1であるので、
    f(z)が極となる特異点-1において、c→-1(※ローラン展開は分母が0になると式が作れないため、分母が0となる特異点の周り(c→-1)の点を利用して展開する近似式である。)の時、

    a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))}
    ※f(z)=1/z^2-1
    ※g(z)={f(z)(z-(-1))}=f(z)(z+1)

    のa(n)の式は
    =lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
    =1/(-2)^(n+2)

    と導けるでしょうか？

      補足日時：2023/07/07 04:36
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  • また、

    a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))}
    ※res(f(z)/(z-c)^(n+1),c)よりres(f(z)/(z-(-1))^(n+1),-1)
    ※f(z)=1/z^2-1
    ※g(z)=f(z)/(z-(-1))^(n+1)

    のa(n)の式は
    =lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
    =1/(-2)^(n+2)

    と導けるでしょうか？

      補足日時：2023/07/07 05:59
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  • まず、
    1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)にk=n+2より、
    nを+2するので、
    a(n+1)={1/(n+2)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+2) (z-(-1))^(n+2){f(z)/(z-(-1))^(n+1)}
    となる。

      補足日時：2023/07/08 19:14
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  • a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1)(z+1)^(n+1){f(z)/(z+1)^(n)}

    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1)(z+1)f(z)
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1)(1/(z-1))
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
    =(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
    =-1/2^(n+2)

    となる。

    すなわち、どのa(n)の公式を使うかで扱う式(f(z)やg(z)など)やkに代入する値が変わるため、結果的に同じ式-1/2^(n+2)を導けるとわかりました。

      補足日時：2023/07/08 19:14
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  • 2023.7.8 10:51の解答に頂いた解答では、

    a(n)
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
    ...
    =(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
    =-1/2^(n+2)
    と書いてありましたが、正しくは

    a(n)
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}
    ={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
    =(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
    =-1/(-2)^(n+2)
    --------------------------------

      補足日時：2023/07/10 00:02
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  • f(z)=1/(z^2-1)
    を
    z=1の周りに展開したとき
    f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

    a(n)
    ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-1)}
    ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
    ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
    =(-1)^(n+1)/2^(n+2)
    =-1/2^(n+2)

    という事で正しいでしょうか？

      補足日時：2023/07/10 00:02
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この質問への回答は締め切られました。

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A 回答 (6件)

No.6

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

補足日2023/07/10 00:02は間違いです


z=-1の周りに展開したとき

(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=
(-1)^(n+1)/((-1)^(n+2){2^(n+2)})
=
{(-1)^(n+1)/(-1)^(n+2)}{1/2^(n+2)}
=
(-1){1/2^(n+2)}
=
-1/2^(n+2)

となるのです

z=1の周りに展開したとき

(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=
{1/(-1)^(n+1)}/2^(n+2)
=
1/({(-1)^(n+1){2^(n+2)})
=
-1/{(-1)^(n+2)(2^{n+2})}
=
-1/(-2)^(n+2)

となるのです

f(z)=1/(z^2-1)
を
z=-1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)
--------------------------------
f(z)=1/(z^2-1)
を
z=1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=-1/(-2)^(n+2)
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No.5

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)から


a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くことはできないのです

res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)から
a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
を導いているのではなく

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n
から
a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
を
導いているのです

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n
から
a(n)
=res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)
を
導いているのです

だから結果的に
res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
となるだけのことなので

f(z)(z-(-1))=1/(z-1)から

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
使って
a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導く
しかないのです

f(z)(z-(-1))=1/(z-1)からでも正しい答えが導けたのではなく
f(z)(z-(-1))=1/(z-1)からしか正しい答えを導く方法は他に無いのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}(k=1の時しか使えない公式)を使う場合は、
res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)として、
f(z)=1/(z^2-1)はz=-1の時にk=1位の極を持つため、

a(n-1)=(1/n!)lim_{z→-1}(d/dz)^n{f(z)(z-(-1))^1}


a(n)={(1/n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)

となる。


1/(n-1)!lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
を使う場合は、
res(g(z),-1)として、
g(z)=f(z)/(z-(-1))^(n+1)となる。
z=-1の時にf(z)=1/(z^2-1)は1位の極を持ち、
z=-1の時にg(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は(n+1)位を持ち、
z=-1の時に1位の極を持つf(z)=1/(z^2-1)をz=-1の時に(n+1)位の極を持つ g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)は含んでいるため、
1と(n+1)を合わせて(n+2)位の極を持つ。
すなわち、k=n+2位の極を持つため、

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お礼日時：2023/07/08 19:14

No.4

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

res(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)から導いていません



f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n
から
a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
を
導いているのです

f(z)=1/(z^2-1)
を
z=-1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)
--------------------------------
f(z)=1/(z^2-1)
を
z=1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=-1/(-2)^(n+2)

1/(-2)^(n+2)ではなく
-1/(-2)^(n+2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません。書き間違いました。

ちなみに、なぜres(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)より
g(z)=f(z)/(z-(-1))^(n+1)ではないのに、g(z)=f(z)(z-(-1))=1/(z-1)からでも正しい答えとしてa(n) =-1/(-2)^(n+2)が導けたのでしょうか？

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お礼日時：2023/07/08 11:17

No.3

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

f(z)=1/(z^2-1)


を
z=-1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z+1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(d/dz)^(n+1){1/(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)
--------------------------------
f(z)=1/(z^2-1)
を
z=1の周りに展開したとき
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){f(z)(z-1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=-1/(-2)^(n+2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ちなみに、なぜres(f(z)/(z-(-1)^(n+1),-1)より
g(z)=f(z)/(z-(-1))^(n+1)ではないのに、g(z)=f(z)(z-(-1))=1/(z-1)からでも正しい答えとしてa(n)=-1/2^(n+2)が導けたのでしょうか？

どうか教えて下さい。

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お礼日時：2023/07/08 10:01

No.2

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

f(z)=1/z^2-1ではなく


f(z)=1/(z^2-1)

f(z)(z-(-1))=1/(z-1)
↓微分すると(1回目)
(d/dz)^(1){f(z)(z-(-1))}=-1/(z-1)^2
↓微分すると(2回目)
(d/dz)^(2){f(z)(z-(-1))}=2/(z-1)^3
↓微分すると(3回目)
(d/dz)^(3){f(z)(z-(-1))}=-6/(z-1)^4
↓微分すると(4回目)
(d/dz)^(4){f(z)(z-(-1))}=24/(z-1)^5
…
↓微分すると(n+1回目)

(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)

1/(-2)^(n+2)ではなく
-1/(-2)^(n+2)でもなく

-1/2^(n+2)
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この回答へのお礼

すいません。
ありがとうございます。

改めて、正しくは
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/2^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=1/(-2)^(n+2)
でしょうか？

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お礼日時：2023/07/08 09:21

No.1

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

f(z)=1/z^2-1ではなく


f(z)=1/(z^2-1)

f(z)(z-(-1))=1/(z-1)
↓微分すると(1回目)
(d/dz)^(1){f(z)(z-(-1))}=-1/(z-1)^2
↓微分すると(2回目)
(d/dz)^(2){f(z)(z-(-1))}=2/(z-1)^3
↓微分すると(3回目)
(d/dz)^(3){f(z)(z-(-1))}=-6/(z-1)^4
↓微分すると(4回目)
(d/dz)^(4){f(z)(z-(-1))}=24/(z-1)^5
…
↓微分すると(n+1回目)

(d/dz)^(n+1){f(z)(z-(-1))}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)

a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→-1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z-1)^(n+2)
=(-1)^(n+1)/(-2)^(n+2)
=-1/2^(n+2)

1/(-2)^(n+2)ではなく
-1/2^(n+2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

ちなみに、res(f(z)/(z-(-1))^(n+1),-1)よりg(z)= f(z)/(z-(-1))^(n+1)ではないのに、
なぜg(z)=f(z)(z-(-1))=1/(z-1)からでも正しい答えとしてa(n)=-1/(-2)^(n+2)が導けたのでしょうか？

また、

正しくは
Res(g(z),-1)
=lim_{z→-1}{1/(z-1)^(n+2)}
=-1/(-2)^(n+2)

Res(g(z),1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=1/(-2)^(n+2)
という事でしょうか？

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お礼日時：2023/07/07 23:47

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