NからZへの全単射を具体的に構成せよ。 N:自然数、Z:整数 を教えてください。 中々案が思いつかず

NからZへの全単射を具体的に構成せよ。

N:自然数、Z:整数
を教えてください。
中々案が思いつかず困っています。
よろしくお願いします。

数学

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/07/11 11:04

NからZへの全単射を具体的に構成する方法を説明します。

N（自然数）をZ（整数）に写すためには、Nの各要素をZの各要素に一意に対応させる必要があります。以下に一つの具体的な方法を示します。

Nの各要素nに対して、以下の規則でZの要素に写します。
nが偶数の場合、nを2で割った整数を対応させます。つまり、nが偶数の場合、Zの要素はn/2となります。
nが奇数の場合、nを2で割った商に-1をかけた整数を対応させます。つまり、nが奇数の場合、Zの要素は-(n/2+1)となります。
例えば、Nの最初の数値から順にZに写してみると以下のようになります。

1 → -1
2 → 1
3 → -2
4 → 2
5 → -3
6 → 3
7 → -4
8 → 4
9 → -5
10 → 5
...
この方法によって、Nの全ての要素がZの要素に対応付けられ、かつ一意な写像が実現されます。

なお、この方法は一つの具体例であり、他にもNからZへの全単射を構成する方法は存在します。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/07/13 14:32

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/11 11:14

普通に数列を作れば？

例えば、NからZへの写像f(x)を
f(x)=(x-2)/2：xが偶数の場合
f(x)=-(x+1)/2：xが奇数の場合
とするとか・・・・。

x=1,2,3,4,5,6,8,9,・・・・・・・とすると
f(x)=-1,0,-2,1,-3,2,-4,3,-5,4,-6-,5・・・・・

xは自然数でf(x)は整数になり、漏れなく整数が作れるから、全写。
また、重複も無いから単写。
なので、f(x)は全単射になってる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/07/13 14:32