平面と円柱の交点の求め方を教えていただきたいです．

円柱面　(x-1)^2+(y-1)^2=1
平面　　z=2x+2y+a^2+b^2-a-b

この二つが交わる点の座標が知りたいです．

わかる方導出方法を教えてください．

質問者からの補足コメント

• パラメータ表示してみたのですが，そこから同どう座標を求めるのかが分かりません．．．

    補足日時：2023/08/12 20:41

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/18 10:33

No.5へのコメントについて。

> 放物面x²+y²=zと円柱面ｘ²+ｙ²=2x+2y-1
> および円柱面の内部の点Ｐ(a,b,a²+b²)における放物線の接平面が囲む体積の最小値を求めよ．

　これって、元の問題文を正確に書いてますかね？　
というのは、「円柱面の内部の点Ｐ(a,b,a²+b²)」というのはなんだか奇妙な表現です。
　　(A): 「円柱面(上)の点Ｐ(a,b,a²+b²)」
　　(B): 「円柱の内部の点Ｐ(a,b,a²+b²)」
のどちらかなら自然ですが、両者は意味が全く異なります。要点は
　　円柱 = {(x,y,z) | (x - 1)² + (y - 1)² ≦ 1}
と
　　円柱面 = {(x,y,z) | (x - 1)² + (y - 1)² = 1}
は別物だということです。
　ところで、この問題を考えるに際して、元のご質問はまるきりマトハズレ。積分範囲は問題で明確に与えられているからです。


[1] 曲面同士が交差する所に特定の「交点」なんてものは生じない、ということはOK？「囲む体積」Vは3つの面で囲まれる領域の体積であり、パラメータa,bで表される。
　放物面x²+y²=zの(x,y) = (a,b)における接平面の方程式を
　　z = p(a,b,x,y)
とすると、これは接平面なんだから任意のa,b,x,yについて
　　(x²+y²) - p(a,b,x,y) ≧ 0
である。（一次式 p(a,b,x,y)を書き下すのは容易。）なので、
　　V(a,b) = ∫∫ (x²+y²) - p(a,b,x,y) dxdy ただし積分範囲は {(x,y) | (x - 1)² + (y - 1)² ≦ 1}

[2] そして上記(B)の場合なら
　　∂V/∂a = 0
　　∂V/∂b = 0
という連立方程式を解けば、Vが停留値（極値か鞍点）になる(a,b)がわかる。また(A)の場合なら、a, bを別のパラメータθで表示した上で
　　∂V/∂θ = 0
を解けば、Vが停留値（極値か鞍点）になる(a,b)がわかる。

[3] 最後に、それが極大でも鞍点でもなく極小であることを示して、Vを計算すれば、コタエの完成です。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/12 23:19

No.4へのコメントについて。

　どうやら、すでに答に到達なさっているのにそれが答だということが理解できずにお困りである、というご質問のようです。

> x-1=cosθ、y－1=sinθを問題の平面の式に代入した式です．

　つまり
　　x = cosθ + 1
　　y = sinθ + 1
　　zは任意の実数
ということ。これは円柱面をパラメータ表示したものですね。
　で、この表示を使うと「この二つが交わる点の座標のパラメータ表示」が
　　x = cosθ + 1
　　y = sinθ + 1
　　z = 2(cosθ+sinθ)+a²+b²-a-b+4
になった、ということです。

> この式からどう求積にもっていくのかが分かりません．

　「求積」は全く関係ありません。なんでそんなもん思い付いたんでしょうか。

　ご質問の

> この二つが交わる点の座標が知りたい

における「この二つ」は無限個の点で交わっていて、それらの点の集合は楕円になる。筒を平面でバッサリ切ったときに現れる切り口の形です。
　で、その楕円上の点の座標を表しているのが、上記の「この二つが交わる点の座標のパラメータ表示」に他なりませんから、θに具体的な値をなんでもいいから一つ入れれば、楕円上の一つの点の座標(x,y,z)が得られる。
　例えばθ=0にしてみると「この二つ」は点(2,1,a²+b²-a-b+6)を共有している（この点でも交わっている）、ということがわかります。

この回答へのお礼

すみません．
NO.5で教えてくださったことについては理解できました．
ありがとうございます．

じつはお聞きしていたのは，

放物面x²+y²=zと円柱面ｘ²+ｙ²=2x+2y-1
および円柱面の内部の点Ｐ(a,b,a²+b²)における放物線の接平面が囲む体積の最小値を求めよ．

という問題の一部で，交点が分かれば積分範囲が分かるかと思い質問していました．求積と申しましたのはこの問題についてです．

よろしければ求積についての方針も教えていただけないでしょうか．

お礼日時：2023/08/12 23:47

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/12 22:46

No.3へのコメントについて。

パラメータ表示がどういうものかお分かりでないようです。パラメータ表示であるためには、xもyもパラメータθの関数として表さなきゃダメですよ。

この回答へのお礼

x-1=cosθ、y－1=sinθを問題の平面の式に代入した式です．

この式からどう求積にもっていくのかが分かりません．

お礼日時：2023/08/12 22:51

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/12 22:36

> パラメータ表示してみたのですが

ま、とりあえずそのパラメータ表示の式を書いてごらんなさいな。

この回答へのお礼

z=2(cosθ+sinθ)+a²+b²-a-b+4

です

お礼日時：2023/08/12 22:42

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/12 22:20

大体、交わる点は孤立点ではなく、曲線になるので

パラメータ表示するしかない。

y=sinθ → y-1=sinθ

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/12 19:16

パラメータ表示して

　x-1=cosθ、y=sinθ、0≦θ<2π
　z=2(cosθ+sinθ)+a²+b²-a-b

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
パラメータ表示してみたのですが，そこから同座標を求めるのかが分かりません．．．

お礼日時：2023/08/12 20:41