交流電圧の時間変化が正弦波の時の実効値の求め方についてですが、なぜ写真のような考え方で実効値が求まる

交流電圧の時間変化が正弦波の時の実効値の求め方についてですが、なぜ写真のような考え方で実効値が求まるのですか？また積分をする意味もわからないです。解説おねがいします

https://detail-infomation.com/rms-of-sine-wave/

No.5 回答者： m-jiro 回答日時： 2023/08/19 15:31

交流の実効値はエネルギー（ジュールの単位）で考えるとわかりやすいかも知れない。

添付図の上のグラフは　v(t) ＝ Vm･sin(ωt)　①　なる電圧。
これを抵抗 R に加える。
時刻 t において R で消費される電力（瞬時電力）は、
P(t) ＝ v(t)² / R
　＝ Vm² ･ sin²(ωt) / R
　＝ ( Vm² / 2R )･( 1 － cos2ωt )　　②
（この変形には cos の倍角の公式を逆向きに利用した）
交流の1サイクルの間に抵抗が消費した全エネルギー Ea は②を ωt＝0 ～ 2π まで積分した値になる。つまり中央のグラフの斜線部の面積になる。
Ea ＝ ∫ P(t) dt
　＝ ( Vm² / 2R )･[ ωt－1/2･sin2ωt ]★　　
　＝ π･Vm² / R 　　　　　③
(★　②を ωt で積分する。積分範囲は ωt＝0 ～ 2π )

ところで、抵抗 R に Vd なる直流電圧を加えると、
Pd(t) ＝ Vd² / R　　　　④　　が消費される。
ωt＝0 ～ 2π の期間に R で消費されるエネルギー Ed は下のグラフの斜線部となる。その値は④を積分して（Vdは一定値なので 2π を掛けるだけ）
Ed ＝ ∫ Pd(t) dt
　＝ 2π･Vd² / R　　　⑤

③と⑤が等しい時の Vd が v(t) の実効値である。
π･Vm² / R ＝ 2π･Vd² / R
　　Vm² ＝ 2･Vd²
因って　　Vd ＝ Vm / √2　　　⑥
おなじみの「実効値は最大値の0.71倍」が出て来た。

余計なことだけど、どうしてパイが変な字体になるかね？
一般的な 兀 のような字になってくれたら見やすいのに・・・

No.4 回答者： isoworld 回答日時： 2023/08/18 14:49

実行値は英語で rms つまり root mean square （二乗平均平方根）と言われるように、元の波形（正弦波）をまず２乗し、その時間平均をとって、最後に２乗したのを元に戻すためにルート（平方根）を取るわけです。

この言葉で言ったことを数式で表すと、写真のようになります。

積分するのは、波形の時間が０から２πまで（１周期）の波形のエネルギーを集計（積算）するためです。なので、平均を取る時間は０～２π（１周期）ということになります。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/18 08:58

質問の疑問点がはっきりしません。

分からないのは
・実効値とは何か？
・平均値を求めるのに積分を用いるのは何故か？
のどの点でしょう？
どっちもわからない？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
どちらもわからないです。

お礼日時：2023/08/18 10:37

No.2 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/08/17 21:31

交流電圧の時間変化が正弦波の場合、その波形は以下のような式で表されます：

\[ V(t) = V_{\text{peak}} \cdot \sin(\omega t) \]

ここで、\( V(t) \)は時間 \( t \) における電圧、\( V_{\text{peak}} \)はピーク値、\( \omega \)は角周波数です。

実効値は、電圧波形の二乗平均の平方根として求めることができます。つまり、以下のようになります：

\[ V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [V(t)]^2 \, dt} \]

ここで、\( T \)は正弦波の周期です。

正弦波の式を代入して計算すると：

\[ V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [V_{\text{peak}} \cdot \sin(\omega t)]^2 \, dt} \]

この積分を計算すると、結果は \( V_{\text{peak}} / \sqrt{2} \) になります。

したがって、積分を使って求めた実効値は、ピーク値を \( \sqrt{2} \) で割った値になります。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/17 21:30

それは定義。

なぜそのような定義をするかというと、v(t)を抵抗Rに印加
すると
　i=v/R
の電流が流れるから、そのジュール熱の平均は
　P=(1/T)∫[0,T] Ri²dt=R(1/T)∫[0,T] i²dt
となる。そこで
　I=√{(1/T)∫[0,T] i²dt}
とおくと
　P=RI²
また、
　v=iR
だから
　V=√{(1/T)∫[0,T] v²dt}
とおけば
　V=RI, P=VI
となり、実効値を使えば直流と同様な電力計算ができる
という物理的な意味がある。