「y=f(x) の逆関数はxとyを入れ替えたものなので、x=f(y)」ということについてですが、 例

「y=f(x) の逆関数はxとyを入れ替えたものなので、x=f(y)」ということについてですが、
例えばy=2xという関数があるとして、
これの逆関数は上記に基づけば、x=2yになりますが、y=2xはx=1,2…と変化する時、y=2,4,…と変化します。しかし、x=2yというのは、y=1,2…と変化するとき、x=2,4…と変化することを表していますが、このことから、y=2xとx=2yは逆の関係にないと思ったのですが、なぜxとyの文字を入れ替えたものが逆関数であると言えるのでしょうか？

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/25 14:26

「y=f(x) の逆関数はxとyを入れ替えたもの」を言い換えると、

　x=1,2…と変化する時、y=f(1),f(2),,と変化するのが関数ｆ
　x=f(1),f(2),,…と変化する時、y=1,2,,と変化するのが関数ｆの逆関数

ですよ

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/25 11:22

>>これの逆関数は上記に基づけば、x=2yになりますが、y=2xは・・

ココを間違うから、その下も間違えるんだよ。

y=x/2だよ。
これで計算すれば、逆の関係になってる事が解る。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/25 11:15

「y=f(x) の逆関数はxとyを入れ替えたもの」ならば、

y=2x の逆関数は x=2y → y=(1/2)x でしょ。

グラフで考えれば x軸と y軸を 入れ替えれば良いですね、
参考書などには 「y=x に対して 対称になる」 と書いてありますね。

＞y=2x は x=1,2…と変化する時、y=2,4,…と変化します。
＞x=2y は y=1,2…と変化するとき、x=2,4…と変化する

シッカリ x と y の関係が 逆になっていますね。

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/25 09:49

>しかし、x=2yというのは、y=1,2…と変化するとき、x=2,4…と変化することを表していますが、

？？
ちゃんと逆関数になっているのでは？

ならば、質問者さんが考える逆関数とは、
　y=1,2…と変化するとき、xがどう変化する
あるいは
　x=1,2…と変化するとき、ｙがどう変化する
関数なのかしら？
そこを補足等に書かれれば、この問題、解決すると思いますよ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
y=2xについて(a,b)を満たしている時、x=2yに入る値はxとyの文字を入れ替えたことから、x=b,y=aが入るのですか？

お礼日時：2023/08/25 10:05

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2023/08/25 09:23

逆関数とは、変数同士の対応関係を逆にした関数です¹。

例えば、y=3xという関数の逆関数は、x=3yとなります。しかし、これだけでは関数として成り立ちません。なぜなら、xとyの値が一意に定まらないからです。例えば、x=6のとき、y=2でもy=3でも成り立ちます。そこで、逆関数を求めるときは、**もとの関数が全単射であること**が必要です²。全単射とは、任意のyに対してxがただ一つ存在して、y=f(x)となることです³。この条件を満たすとき、逆関数はf−1(y)=xと表せます。このように、逆関数はもとの関数の入出力を入れ替えたものではなく、**全単射であることを前提にしたもの**です。

ソース: Bing との会話 2023/8/25
(1) 逆関数の3つの定義と使い分け | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/784.
(2) 逆関数(逆写像)の定義と性質を厳密に～図解付き～ - 数学の景色. https://mathlandscape.com/inverse-function/.
(3) https://univ-juken.com/gyaku-kansu#:~:text=%E9%8 …
https://bing.com/search?q=%e9%80%86%e9%96%a2%e6% …
(4) 逆関数とは？逆関数の求め方や微分積分をわかりやすく解説 .... https://univ-juken.com/gyaku-kansu.