場合の数、確率 50 数直線上の確率

本題

(x/6+2x^2/6+1/(6x)+2/(6x^2))^5 を展開した時の定数項が
そのまま原点に存在する確率となる。
x^n の係数が点 n (右方向を正とする) に存在する確率である。

この程度の式の展開なら特に工夫しなくても力づくで処理できる範囲であるが
展開の手間を減らす工夫をする。
幸いにも t=x+1/x とすることで
(x/6+2x^2/6+1/(6x)+2/(6x^2))^5
=(2t^2+t-4)^5/6^5
とすることができる。この式を f(t) とする。
t の 10 次式が出来上がるわけだが、
t の奇数乗を x の式に戻したときに定数項は現れないので
t の偶数乗の係数に注目すればよいのですが、、、

この先が進みません

以下問題

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https://imgur.com/a/xe6JisP

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質問者からの補足コメント

• 評価と感想
  
  点の移動 折れ線グラフの有効性を確認する問題であった
  
  偶数の個数で分類する、この発想に時間をさいた
  
  その発想にも、折れ線グラフで視覚的に捉える事ができた
  
  以下答案
  
  _______________________________
  
  https://imgur.com/a/lepmxqd
  
  __________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/09/04 11:42

No.2 ベストアンサー 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/09/05 09:42

左に動くことを”－”、右に動くことを”＋”と表記すると、

出目が１の場合、＋１
出目が２，３の場合、＋２
出目が４の場合、－１、
出目が５，６の場合、－２と表せる。
結果として、５回の合計が０になることを求めればよい。
５回のうち、負数の回数は２回または３回に限定される。
なぜなら、０回の場合は合計は必ず５以上となり、５回の場合はー５以下となる。
４回では負数の合計がー４以下でなので５つの合計はー２以下
同様に負数が１回では５つの合計が＋２以上となる。
負数が２個の場合、３個の正数の合計は３以上６以下なので、負数の合計はー３またはー４
①－２－２＋１＋１＋２
②－２－１＋１＋１＋１
負数が３個の場合、２個の正数の合計は２以上４以下なので、負数の合計は－３またはー４
③－２－１－１＋２＋２
④－１－１－１＋１＋２
となり順不同での組み合わせは４通りに限定される。
①の組み合わせとなる確率は
５Ｃ２・３Ｃ２・(1/3)^3・(1/6)^2=30/972
②の組み合わせとなる確率は
５Ｃ３・２Ｃ１・(1/3)・(1/6)^4=20/3888=5/972
③の組み合わせとなる確率は
５Ｃ２・３Ｃ２・(1/3)^3・(1/6)^2=30/972
④の組み合わせとなる確率は
５Ｃ３・２Ｃ１・(1/3)・(1/6)^4=20/3888=5/972

求める確率はこの合計で
(30+5+30+5)/972=70/972=35/486

この回答へのお礼

こんにちは
お世話になっております。
ご回答ありがとうございました
拝見させていただきました。
その様な発想もアリですよね


私は、偶数の個数で分類しました

評価と感想

点の移動 折れ線グラフの有効性を確認する問題であった

偶数の個数で分類する、この発想に時間をさいた

その発想にも、折れ線グラフで視覚的に捉える事ができた

以下答案

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https://imgur.com/a/lepmxqd

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from minamino

お礼日時：2023/09/05 12:53

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/03 20:18

数直線上を,原点Oから出発して動く点Aがあるとする

1つのさいころを振り,
出た目が1のとき点Aを右に1動かし,
出た目が2,3のとき右に2動かし,
出た目が4のとき左に1動かし,
出た目が5,6のとき左に2動かすものとする.
このとき,さいころを5回振った後に点Aが原点にある確率を求めよ

5回の内
1が出た回数をa
2.or.3が出た回数をb
4が出た回数をc
5.or.6が出た回数をd
とすると

a+b+c+d=5
a+2b=c+2d

a,b,c,dのどれかが奇数
cが奇数のときaも奇数a+cは偶数bかdのどちらかが奇数
aが奇数のときcも奇数a+cは偶数bかdのどちらかが奇数
だから
bかdのどちらかが奇数
d≧3と仮定すると
3≦d=5-a-b-c
a+b+c≦2
0≦a+c≦2-b
b≦2
a+2b-c=2d≧6
c+6-b≦a+b≦2-c
4≦2c+4≦b≦2となって矛盾するから
d≦2
b≧3と仮定すると
3≦b=5-a-d-c
a+d+c≦2
a+2d-c=2b≧6
c+6-d≦a+d≦2-c
4≦2c+4≦d≦2となって矛盾するから
b≦2
b=d=1と仮定すると
a+2=c+2
a=c
a+1+a+1=5
2a=3となってaが整数である事に矛盾するから
(b,d)≠(1,1)
b≦2
d≦2
bかdのどちらかが奇数だから
b=1.or.d=1
∴
(b,d)=(0,1).or.(b,d)=(1,0).or.(b,d)=(1,2).or.(b,d)=(2,1)

(b,d)=(0,1)のとき
a+c=4
a=c+2
2c+2=4
c=1
a=3
(a,b,c,d)=(3,0,1,1)
11145
11146
......{5!/(3!)}(1/6)^3(1/6)(2/6)=5*8/6^5

(b,d)=(1,0)のとき
a+c=4
a+2=c
2a+2=4
a=1
c=3
(a,b,c,d)=(1,1,3,0)
12444
13444
......{5!/(3!)}(1/6)(2/6)(1/6)^3=5*8/6^5

(b,d)=(1,2)のとき
a+c=2
a=c+2
2c+2=2
c=0
a=2
(a,b,c,d)=(2,1,0,2)
11255
11256
11265
11266
11355
11356
11365
11366
.....{5!/(2!2!)}(1/6)^2(2/6)(2/6)^2=5*3*16/6^5

(b,d)=(2,1)のとき
a+c=2
a+2=c
2a+2=2
a=0
c=2
(a,b,c,d)=(0,2,2,1)
22445
22446
23445
23446
32445
32446
33445
33446
.....{5!/(2!2!)}(2/6)^2(1/6)^2(2/6)=5*3*16/6^5

確率は
(5*8+5*8+5*3*16+5*3*16)/6^5
=
35/486

この回答へのお礼

教授、おはようございます！

なんだかお久しぶりです。

ご回答ありがとうございました。

拝見させていただきました

難解で稚拙な私には到底理解ませんでした

ごめんなさい

ただ、解説(河合塾問題集)は、教授のような解き方をしてました


以下答案

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https://imgur.com/a/lepmxqd

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from minamino

お礼日時：2023/09/04 11:20