ハードディスクのヘッドの移動距離

情報処理関係の問題ですが、
あるハードディスクドライブのディスクには0番からＬ番までアドレスが振ってあり、ヘッドはディスクの各番地にアクセスして情報を読み取る。アクセスはランダムで一様分布だとして、あるアクセスから次のアクセスまでのヘッドの移動距離の平均は？という問題です。
つまりアドレス10番にアクセスして次に25番にアクセスしたら移動距離はアドレスの差の15という計算になります。
この答えは1/3Ｌです。
解答頁にそう書いてあったのですが、何の解説もありませんでした。
シミュレーションは簡単です。Excelで0～1の乱数を書き出し、乱数同士の差の絶対値を平均すれば確かに0.33程度になるので、それで正しいのでしょうが、どういう計算なのでしょうか、というのが質問になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/23 11:50

＞あるハードディスクドライブのディスクには0番からＬ番までアドレスが振ってあり

「アドレス」ですか？　「トラック位置（トラック番号）」ではありませんか？

ヘッドは「半径方向」に動きますが、ディスクの「円周方向」には「回転待ち」をして読み取るのでヘッドは動きません。

L を「トラック位置」と解釈すれば
・最初にヘッドのある位置：Y = ０～ L の間に一様分布
・読み取るデータのある位置：X = ０～ L の間に一様分布
として、ヘッドの移動量は
　Z = |X - Y|
です。
この「期待値 E(Z)」を求める問題です。

「連続関数」と考えれば、確率密度関数は
　P(x) = 1/L　（0≦x≦L）、それ以外では 0
　P(y) = 1/L　（0≦y≦L）、それ以外では 0
なので、求める期待値は
E(Z) = ∫∫[0→L]Z･P(x)･P(y)dxdy
= (1/L^2)∫∫[0→L]|x - y|dxdy　　　　　①
です。

絶対値は
　0≦x≦y≦L のとき　-(x - y)
　0≦y≦x≦L のとき　(x - y)
として外せるので、積分範囲を2つに分けて
E(Z) = (1/L^2)∫[0→L]{∫[0→y](-x + y)dx}dy
　　　+ (1/L^2)∫[0→L]{∫[0→x](x - y)dy}dx　　　　②
として計算します。

前半の積分は
　∫[0→L]{∫[0→y](-x + y)dx}dy
= ∫[0→L]{[-(1/2)x^2 + xy][0→y]}dy
= ∫[0→L]{[-(1/2)y^2 + y^2]}dy
= ∫[0→L]{[(1/2)y^2}dy
= (1/2)[(1/3)y^3][0→L]
= (1/6)L^3

後半の積分は
　∫[0→L]{∫[0→x](x - y)dy}dx
= ∫[0→L]{[xy - (1/2)y^2][0→x]}dx
= ∫[0→L]{[x^2 - (1/2)x^2]}dx
= ∫[0→L]{[(1/2)x^2}dx
= (1/2)[(1/3)x^3][0→L]
= (1/6)L^3

これらを②に代入すれば
E(Z) = (1/L^2)[(1/6)L^3 + (1/6)L^3]
　　= (1/3)L

まあ、ヘッドの初期位置が「最外周」なり「最内周」にあれば移動量の平均値（期待値）は (1/2)L になることは容易に想像できるので、ヘッドの初期位置がランダムであればそれより少し小さくなることも想像できます。


通常の磁気ディスクの平均アクセス時間は、この「ヘッドの移動時間」に「平均回転待ち時間 = ディスクが半周する移動時間」を加えたものになります。
電気・電子回路の動作に比べれば「圧倒的に遅い」ことになります。

この回答へのお礼

>「トラック位置（トラック番号）」ではありませんか

多分、そっちです。曖昧な記憶で書いていました。すみません。
数式は理解できました。ありがとうございました。
しかし、難しすぎて情報処理の選択問題に出題する様な内容ではなかったですね。出題者は、勘で答えろというのでしょうか。

お礼日時：2023/09/27 20:51

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/09/23 07:35

互いに独立な確率変数X, Yが、どちらも0〜L の(L + 1)通りの値を等確率で取るとき、確率変数

　　Z = |X - Y|
の期待値は幾ら？　という確率論の問題ですね。

　いきなりZを考えるよりも、いったん確率変数
　　A = X - Y
を考える方がわかりやすいかも。A = k となる確率をPr(A = k)と書くことにすると、もちろん
　　Pr(A = k) = Pr(A = -k)
です。「k∈{0, 1, ..., L}についてPr(A = k)が幾らになるか」は暗算でできるでしょう。で
　　E(|A|) = Σ{k=-L〜L} |k|Pr(A = k)
を計算する。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
2番のお礼にも書きましたが、選択問題で出題する内容ではない様に思えました。

お礼日時：2023/09/27 20:53