aに関する三次方程式が解けずに困っています。

0<a<3を満たす定数aがあり、放物線y=-x^2+3xとx軸で囲まれた部分の面積をy=axが２等分するとき、aの値を求めよという問題なのですが、これを立式して計算を進めると、
2a^3-18a^2+54a-27=0
という式が出てきます。
aを求めたいのですが、代入して0になるaの値が見つからず、解けなくて困っています。
どうすればいいですか？
これもしかして解けないのですか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/17 19:17

0<a<3

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2023/10/16 23:47

計算途中の(3-a)を展開しないで、(3-a)^2でくくるか、(3-a)=tとでも置いていれば、(1/6)(3-a)^3=9/4 のような式になったのに残念でした。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/16 23:45

> どうすればいいですか？

無闇やたらに展開しないのが吉。

　　y = x(3 - x)
とx軸で囲まれた部分の面積をSとする。計算は簡単で、具体的にSの値が出る。　さて「y=axが２等分する」というのは、ちょっとグラフを描いてみればわかるように、
　　y = x(3 - x) - ax
　　　= x((3 - a) - x)
とx軸で囲まれた部分の面積Tが
　　T = S/2
を満たすということ。そこでTを計算するために
　　A = 3 - a
と置いてみれば、積分範囲は0〜Aであり、
　　y = Ax - x^2
を積分すると、Tはもちろん(A^3)の定数倍になる。
　あとは簡単ですよね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 22:20

2a^3 - 18a^2 + 54a - 27 = (2a^3 - 18a^2 + 54a - 54) + 27

　　　　　　　　　　　= 2(a - 3)^2 + 27
に気づけるといいなあ。
2a^3 - 18a^2 + 54a - 27 = 0　⇔　a-3 = ³√(27/2) = 3/³√2
って解けるよね。 ³√ は、複素範囲で 3個の値を持つ。