カントールの対角線論法について質問です。

カントールの対角線論法について質問です。野矢茂樹著の「無限論の教室」によると、
x0 = 0.1111...
x1 = 0.1011...
x2 = 0.0111...
x3 = 0.1010...
...
のように 0 から 1 までの小数を２進数で列挙して、その対角線を取った 0.1010... の小数点以下の 0 と 1 を逆転させた x = 0.0101... が、列挙したはずの 0 から 1 までの小数のどれにも当てはまらないことから、それは矛盾である。したがって実数を自然数と 1 : 1 に対応させることはできない、としています。

以上は、もし実数が自然数と同じ濃度ならば、という仮定の下でのことなので、実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表したらどうなるのかということを考えています。しかしここでその仮定がないとき、何の仮定もないときに、0 から 1 までの実数を列挙せよと言われたら、やはり上に挙げた x1, x2, x3, ... が生まれると思います。するとやはり対角線論法により矛盾しますが、ここでは仮定がないので仮定を背理法の前提として棄却する訳にはいかず、その矛盾は何の前提もないパラドックスになってしまうように思われます。

私はどこかで間違っているのでしょうか？ ネット上ではこれについての言及は見つけられませんでした。どなたかご存知の方、教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• yahoo! 知恵袋でも同じ質問をしたのですが、回答に適切に対応することができず、聞きたいことを聞きそびれてしまったので、こちらで質問させていただきました。

    補足日時：2023/11/07 04:45

• お礼ではなくこちらに書くべきでしたかね？ まだ慣れないもので…。
  
  回答ありがとうございます。
  私が知りたいのは、「実数が自然数と同じ濃度ならば」という仮定の下で対角線論法を使って、矛盾するよね、だから実数が自然数と同じ濃度ではない、とするところを、仮定なく実数を列挙したらどうなるのか、その場合も対角線論法を使って矛盾になってしまうのではないか、とうことなのですが。それは不可能だということでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/07 07:07

• すみません、お礼欄の訂正です。
  × mtrajcp さんは、決して無限にはたどりつかないと思っているのか、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？
  
  ○ mtrajcp さんは、無限への過程によって無限にたどりつくと思っているのか、決して無限にはたどりつかず、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？

  No.37の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/09 14:04

• 

  すいません。No.43 へのお礼コメントの
  >次に No.35 の回答中の (0.2111… )₃ が列挙した列の中に現れないときについてですが、…
  の段落は、間違いです。No.35 へのお礼コメントで自分で超限順序数の必要性を導いたのでした。
  
  それを受けて、No.35 での 3進数による実数の列挙では、循環節 1... の後に循環節 2... が来るとき、 (0.111...1110222...)₃ のようにすれば、それは (0.111...1111)₃となって循環節 1... を列挙の中に出現させることができると思いました。

  No.43の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/10 07:24

• そろそろ質問を閉じさせていただきたいと思います。
  返信が追いつかなかった回答者の方を含め、付き合っていただきありがとうございます。最初は相手にされないんじゃないかと心配していたのですが、こんなに反響があるとは。ほとんど反対意見でしたけどね。色々やり取りしましたが、パラドックスになるのではという疑念はついに否定されず、疑念を深める結果になりましたが、私としてはそれもまた良しです。
  ではさようなら。

    補足日時：2023/11/13 12:09

No.53 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/12 09:55

ここまでのやりとりで感じるんだけど, あまりにも「無限」を雑に (そしてぞんざいに) 考えてないかね. 「...」とかでごまかすんじゃなくって, もっと丁寧に扱うことを学ぶべきだと思うよ.

「個々の自然数が『有限の値』である」ことと「自然数が『無限に存在』する」こととは区別できてるのかなぁ.

この回答へのお礼

... を用いずにどう無限にある実数の列挙を表現すればよいのでしょう？
自然数が無限に存在するなら、1 ずつ足していったその無限の果てにある数（それも個々の自然数のうち）は無限大となって、有限の値にはならないと思います。

お礼日時：2023/11/12 19:15

No.52 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/12 04:54

No.39 へのお礼コメントへの答えはすでに答えている通り

「
決して、無限(桁)にはたどりつかず、
無限(∞)への過程における有限(桁)のみが(無限に)ある
」
です
----------------------------------------------------

0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できれば
十分というのなら
それを証明してください
その規則とはどのような規則なのか
列挙とは
「
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射写像
」
と同じ意味なのかそうでないのか

「
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射写像
」
が存在する必要がないのなら
「
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射写像
」
が存在しない事を認めた事になるので

パラドックス
にはなりません

自然数の集合Nと実数の集合Jの濃度が等しいどうかを議論しているのだから
NからJへの全単射が存在するときNとJの濃度が等しいというのだから

NからJへの全単射が存在する
と
NからJへの全単射が存在しない
の両方がなりたつ事が証明されれば
パラドックスになるのです
だけれども

対角線論法で
NからJへの全単射が存在しない事は証明されているけれども
NからJへの全単射が存在する事は証明されていないので
パラドックスではありません

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β<1
βの10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

この回答へのお礼

>「
>決して、無限(桁)にはたどりつかず、
>無限(∞)への過程における有限(桁)のみが(無限に)ある
>」
>です
ということは私の質問「無限への過程によって無限にたどりつくと思っているのか、決して無限にはたどりつかず、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？」の答えとしては後者であるということですね？ ということは mtrajcp さんは対角線論法を認めないということですね（No.31 へのコメントより）。実数を列挙するときだけ無限にたどりつくと考えるのはおかしいですからね。

>0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できれば
>十分というのなら
>それを証明してください
0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できれば、その対角線の数を取っって作った数の 0 と 1 を反転させた数は、列挙に含まれないことになって矛盾し、パラドックスになります。

>その規則とはどのような規則なのか
No.34 のコメントの通りです。

>J=(0,1)
>への全射写像
>」
>が存在する必要がないのなら
>「
>自然数の集合
>N
>から
>0から1の間の実数の集合
>J=(0,1)
>への全射写像
>」
>が存在しない事を認めた事になるので
>
>パラドックス
>にはなりません
全射写像が存在しなくても良いのは、全射写像が存在しないと言っていることではありません。全射写像があってもなくても、パラドックスになるという私の論理には関わらないということです。

>対角線論法で
>NからJへの全単射が存在しない事は証明されているけれども
>NからJへの全単射が存在する事は証明されていないので
>パラドックスではありません
そのようなパラドックスを問題にしているのではありません。質問文をよく読んでください。

お礼日時：2023/11/12 06:05

No.51 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2023/11/12 04:48

No.51=47です。

　桁が可算無限桁だと作れる数が2^(可算無限)個です。可算無限桁の各々から数字を選んでいって選び終わった後で桁から数字が選ばれない数が並びます。
　→横
↓0.0..0が可算無限個繰り返される...000
縦0.0..0が可算無限個繰り返される...001
　0.0..0が可算無限個繰り返される...010
　　　　　　　:数が可算無限個並ぶ
　0.0..0が可算無限個繰り返される...011以下の数たちは桁の数字が選ばれない
　0.1..1が可算無限個繰り返される...100　
　0.1..1が可算無限個繰り返される...101
　0.1..1が可算無限個繰り返される...110list の可算無限個の外に見つかる
　0.1..1が可算無限個繰り返される...111
可算無限桁で対角線論法すると1個目の数の小数点以下第1位が0で0.0..0が可算無限個繰り返される...001になります。各々の桁の0と1を逆転すると0.1..1が可算無限個..10になります。横の並びは自然数濃度です。縦の並びは実数濃度です。その数は list にあります。最後から2番目にあって0.1..1が可算無限個繰り返される...110です。
　桁が非可算無限桁だと作れる数が2^(非可算無限)個です。横の桁数と縦の数の個数が非可算無限個になって縦横がピッタリします。
　→横
↓0.0..0が非可算無限個繰り返される...000
縦0.0..0が非可算無限個繰り返される...001
　0.0..0が非可算無限個繰り返される...010
　0.0..0が非可算無限個繰り返される...011　
　　　　　　　:数が非可算無限個並ぶ
　0.1..1が非可算無限個繰り返される...100
　0.1..1が非可算無限個繰り返される...101
　0.1..1が非可算無限個繰り返される...110
　0.1..1が非可算無限個繰り返される...111
非可算無限桁で対角線論法すると1個目の数の小数点以下第1位が0で0.0..0が非可算無限個繰り返される...111になります。各々の桁の0と1を逆転すると0.1..1が非可算無限個..000になります。全ての桁がどれかの数と違います。その数が list の中にないです。実数同士で対角線論法すると実数の外に出て虚数になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが、文面をほとんど理解できませんでしたm(_ _)m
ただ１つだけ、実数の外に出て虚数になるというのはどうでしょう？
他に行き場がないからですか？
虚数 i が出現する根拠がないと、虚数にはならないのではないですかね？

お礼日時：2023/11/12 06:56

No.50 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/11 21:15

「列挙」とか

「取りつくす」とか
そのような
言葉は
曖昧で論理的でないので
誤解されるのでやめましょう

自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射写像が存在すると思うなら
それを
証明してください

証明できないのならば

パラドックスなどという資格はありません

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β<1
βの10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

この回答へのお礼

>J=(0,1)
>への全射写像が存在すると思うなら
>それを
>証明してください
私の言うパラドックスが起こるためには、別に全射写像が存在する必要はありません。No.34 へのお礼コメントで述べた、0 から 1 までの実数を規則的に並べて列挙できれば十分です。

あなたはまだ No.39 へのお礼コメントで述べた私からの質問に答えてませんね。これについてはいかがですか？

お礼日時：2023/11/11 21:39

No.49 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/11 18:47

あなたが対角線論法の合理性をお認めになるのであれば

0から1までの実数を1つ1つ取り出すしかたて同じ区間の実数全部を
取り尽くすことはできない、ということは認めざるをえないと
おもうんだけどなぁ？
たしかにどの実数も0と1の可算無限個で表現できるのは事実だから
そのような数の集合が可算無限個であると言いたい気持ちは
わからんでもないけど....。

この回答へのお礼

0 から 1 までの小数点以下無限桁までの小数について、その小数点以下のすべての桁それぞれが 0 か 1 かである組み合わせの数を列挙すれば、0 から 1 までの実数全部を取り尽くすことになると私は思いますが、おかしいですか？

というかここでそれを取り尽くせるとしないと、質問文で述べた「無限論の教室」に書かれた、対角線論法により、実数を可算無限個とすると取り尽くせることと、対角線にある数の 0 と 1 を反転させた数が、取り尽くしたどれとも違うとなって矛盾する、したがって実数は可算無限個ではない、ということもまた、言えなくなってしまいます。

対角線論法が成り立つ、だから取り尽くすことはできない、ということではないと思います。

お礼日時：2023/11/11 19:22

No.48 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/11 11:03

その本で「列挙」といっているのは

自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射をつくるという意味なのですが
「列挙」という言葉は
曖昧で論理的でないので
誤解されるのでやめましょう
その本では
全射が存在することを仮定しているけれども
必ずしも仮定する必要はないのです
任意の
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
への写像が
全射でない事をしめせば十分なのです

対角線論法は
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない
事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β<1
βの10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

No.47 回答者： r_umaniamnvi_the_5th 回答日時： 2023/11/11 05:26

武鉄さんおはようございます。

　対角線論法で数を作る操作で元になった数達の外に出ないか出るかがあらかじめわからないと困ります。自然数同士で割り算すると自然数の外に出て小数になります。実数同士で対角線論法すると実数の外に出るのか出ないのか分からないです。例えば3桁だったら数が8個できてしまって対角線論法しにくいです。無限桁だと数も無限個で対角線論法できそうです。桁がn桁だと作れる数が2^n個です。横の長さより縦の長さが長いです。
　→横
↓0.000
縦0.001
　0.010
　0.011　以下の数たちは桁の数字が選ばれない
　0.100
　0.101
　0.110
　0.111
3桁で対角線論法すると1個目の数の小数点以下第1位が0でとやっていくと0.000になります。各々の桁の0と1を逆転すると0.111になります。対角線論法した数が list の最後にあります。桁の数よりも list に並ぶ数の方が多いです。横よりも縦が長いので対角線論法で桁を選ばれない数があります。実数同士で対角線論法すると実数の外に出て虚数になりますか?
　list がある。
　list に実数がすべて載っている。
　対角線論法で数を作る。
　　作った数が list にある。
　　　作った数が実数である。
　　作った数が list にない。
　　　作った数が虚数である。
　小数点以下で循環節が始まる前までの桁たちを前節と呼ぶことにします。0.前節循環節a循環節bで小数が書けます。前節が1で循環節aが0で循環節bが0です。0.100...循環節0が繰り返される...です。分母の桁数が少ないときは割り算をしていくと前節の終わりが何となくわかったり循環節2の始まりが何となくわかります。分母の桁数がわからないと前節の終わりや循環節1の終わりがわかりません。


寅さん古参さん胃人さんりもさんおはようございます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
>武鉄さんおはようございます。
私のこと？ 私は dabutetsu です。

>横よりも縦が長いので対角線論法で桁を選ばれない数があります。
そこは対角線に必要な分だけ小数点以下の数 0 を付け加えればいいんじゃないですかね？ 0 から 1 までの実数で対角線論法をするときは循環節 0... を加えるとして。

作った数が実数に含まれないと虚数になるのでしょうか？ 他にないから？ 虚数 i が出現する根拠がなくはないですか？

お礼日時：2023/11/11 06:30

No.46 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/10 20:51

対角線論法は

自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しない事を証明しているのです
任意のNからJへの写像
f:N→J
に対して
n∈Nに対して
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≦4の場合　b(n)=8
f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n≧5の場合　b(n)=1
と
数列b(n)
を定義し

β=Σ_{n=1～∞}b(n)/10^n

とすると
0<β<1
βの10進数で表した小数第n位b(n)≠f(n)を10進数で表した小数第n位f(n)_n
だから
β≠f(n)
だから
fは全射ではない
∴
自然数の集合
N
から
0から1の間の実数の集合
J=(0,1)
への全射は存在しないから
全単射も存在しないから
濃度も等しくない

No.45 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/11/10 20:35

「対角線上の数字を変えることによって作られる実数が、列挙したはず実数のどれとも違う」のどこがどう「パラドックス」なんですか?

「列挙した『はず』」といっているだけで実際に「全てを網羅している」わけではない, という可能性が想像できないということ?

この回答へのお礼

私には想像できません。
0 から 1 までの実数の列挙について言えば、小数点以下無限桁までのすべての桁がそれぞれ 0 か 1 かである数が列挙されているので、そこに現れない実数は存在しないと思います。したがって対角線論法により、そこに現れない実数が存在することとなることと矛盾して、パラドックスになるのではないか？というのが私の言い分です。

お礼日時：2023/11/10 20:52

No.44 回答者： syotao 回答日時： 2023/11/10 17:07

あのー、ひとつ確認なんですが....。

あなたの最初の質問文では、可算無限個の2進展開された実数の縦列
から対角線上の数字を変えることによって定義される実数が
その縦列のどれにも等しくない、ということは認めているように
思えるのですが、そうですか？

この回答へのお礼

はい、認めています。
その対角線上の数字を変えることによって作られる実数が、列挙したはず実数のどれとも違うとなって、パラドックスに陥るのではないかというのが質問文の主旨になります。

お礼日時：2023/11/10 18:12