カントールの対角線論法について質問です。

カントールの対角線論法について質問です。野矢茂樹著の「無限論の教室」によると、
x0 = 0.1111...
x1 = 0.1011...
x2 = 0.0111...
x3 = 0.1010...
...
のように 0 から 1 までの小数を２進数で列挙して、その対角線を取った 0.1010... の小数点以下の 0 と 1 を逆転させた x = 0.0101... が、列挙したはずの 0 から 1 までの小数のどれにも当てはまらないことから、それは矛盾である。したがって実数を自然数と 1 : 1 に対応させることはできない、としています。

以上は、もし実数が自然数と同じ濃度ならば、という仮定の下でのことなので、実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表したらどうなるのかということを考えています。しかしここでその仮定がないとき、何の仮定もないときに、0 から 1 までの実数を列挙せよと言われたら、やはり上に挙げた x1, x2, x3, ... が生まれると思います。するとやはり対角線論法により矛盾しますが、ここでは仮定がないので仮定を背理法の前提として棄却する訳にはいかず、その矛盾は何の前提もないパラドックスになってしまうように思われます。

私はどこかで間違っているのでしょうか？ ネット上ではこれについての言及は見つけられませんでした。どなたかご存知の方、教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• yahoo! 知恵袋でも同じ質問をしたのですが、回答に適切に対応することができず、聞きたいことを聞きそびれてしまったので、こちらで質問させていただきました。

    補足日時：2023/11/07 04:45

• お礼ではなくこちらに書くべきでしたかね？ まだ慣れないもので…。
  
  回答ありがとうございます。
  私が知りたいのは、「実数が自然数と同じ濃度ならば」という仮定の下で対角線論法を使って、矛盾するよね、だから実数が自然数と同じ濃度ではない、とするところを、仮定なく実数を列挙したらどうなるのか、その場合も対角線論法を使って矛盾になってしまうのではないか、とうことなのですが。それは不可能だということでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/07 07:07

• すみません、お礼欄の訂正です。
  × mtrajcp さんは、決して無限にはたどりつかないと思っているのか、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？
  
  ○ mtrajcp さんは、無限への過程によって無限にたどりつくと思っているのか、決して無限にはたどりつかず、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？

  No.37の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/09 14:04

• 

  すいません。No.43 へのお礼コメントの
  >次に No.35 の回答中の (0.2111… )₃ が列挙した列の中に現れないときについてですが、…
  の段落は、間違いです。No.35 へのお礼コメントで自分で超限順序数の必要性を導いたのでした。
  
  それを受けて、No.35 での 3進数による実数の列挙では、循環節 1... の後に循環節 2... が来るとき、 (0.111...1110222...)₃ のようにすれば、それは (0.111...1111)₃となって循環節 1... を列挙の中に出現させることができると思いました。

  No.43の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/10 07:24

• そろそろ質問を閉じさせていただきたいと思います。
  返信が追いつかなかった回答者の方を含め、付き合っていただきありがとうございます。最初は相手にされないんじゃないかと心配していたのですが、こんなに反響があるとは。ほとんど反対意見でしたけどね。色々やり取りしましたが、パラドックスになるのではという疑念はついに否定されず、疑念を深める結果になりましたが、私としてはそれもまた良しです。
  ではさようなら。

    補足日時：2023/11/13 12:09

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2023/11/07 10:43

実数が自然数と同じ濃度と仮定しなければ、そもそも実数を列挙できません。

仮定を置くから列挙されたものを用意できるのです。仮定を置かなければ代わりに具体的に何らかの列挙を行わなければいけません。そしてもちろん、列挙から矛盾が生じるのですから実際には列挙は作れません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お礼欄で失礼します。

>仮定を置かなければ代わりに具体的に何らかの列挙を行わなければいけません。そしてもちろん、列挙から矛盾が生じるのですから実際には列挙は作れません。

0 と 1 の間のすべての小数点以下の桁が 0 と 1 である組み合わせを列挙することは仮定を置かなくても可能ではないでしょうか？ そしてそれが 0 と 1 の間のすべての実数になる、とできるのでは？

お礼日時：2023/11/07 20:38

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/07 10:32

「

実数が自然数と同じ濃度
」
と
「
実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表すことができる
」
は
おなじ意味です

実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表すことができないから

実数が自然数と同じ濃度ではないのです

集合
AとBの間に全単射写像が存在するとき

集合
AとBの濃度が等しいという

濃度の定義です

No.1 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/11/07 06:36

> 実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表したら

> どうなるのかということを考えています。
　実数のうち、無理数に対してはそんな考え方、つまり
　　「無理数を自然数の濃度で表す」
ことはできないと主張しているのが対角線論法だと思うが。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …
でもらった回答で納得できないのなら、デテキント先生にならって
　　「数とは何か、何であるべきか」
についてもっと勉強するしかあるまい。気合を入れて取りかからないと、大変だぞ（笑）。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私が知りたいのは、「実数が自然数と同じ濃度ならば」という仮定の下で対角線論法を使って、矛盾するよね、だから実数が自然数と同じ濃度ではない、とするところを、仮定なく実数を列挙したらどうなるのか、その場合も対角線論法を使って矛盾になってしまうのではないか、とうことなのですが。それは不可能だということでしょうか？

お礼日時：2023/11/07 06:55