カントールの対角線論法について質問です。

カントールの対角線論法について質問です。野矢茂樹著の「無限論の教室」によると、
x0 = 0.1111...
x1 = 0.1011...
x2 = 0.0111...
x3 = 0.1010...
...
のように 0 から 1 までの小数を２進数で列挙して、その対角線を取った 0.1010... の小数点以下の 0 と 1 を逆転させた x = 0.0101... が、列挙したはずの 0 から 1 までの小数のどれにも当てはまらないことから、それは矛盾である。したがって実数を自然数と 1 : 1 に対応させることはできない、としています。

以上は、もし実数が自然数と同じ濃度ならば、という仮定の下でのことなので、実数を x1, x2, x3, ... と連番で、つまり自然数の濃度で表したらどうなるのかということを考えています。しかしここでその仮定がないとき、何の仮定もないときに、0 から 1 までの実数を列挙せよと言われたら、やはり上に挙げた x1, x2, x3, ... が生まれると思います。するとやはり対角線論法により矛盾しますが、ここでは仮定がないので仮定を背理法の前提として棄却する訳にはいかず、その矛盾は何の前提もないパラドックスになってしまうように思われます。

私はどこかで間違っているのでしょうか？ ネット上ではこれについての言及は見つけられませんでした。どなたかご存知の方、教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• yahoo! 知恵袋でも同じ質問をしたのですが、回答に適切に対応することができず、聞きたいことを聞きそびれてしまったので、こちらで質問させていただきました。

    補足日時：2023/11/07 04:45

• お礼ではなくこちらに書くべきでしたかね？ まだ慣れないもので…。
  
  回答ありがとうございます。
  私が知りたいのは、「実数が自然数と同じ濃度ならば」という仮定の下で対角線論法を使って、矛盾するよね、だから実数が自然数と同じ濃度ではない、とするところを、仮定なく実数を列挙したらどうなるのか、その場合も対角線論法を使って矛盾になってしまうのではないか、とうことなのですが。それは不可能だということでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/07 07:07

• すみません、お礼欄の訂正です。
  × mtrajcp さんは、決して無限にはたどりつかないと思っているのか、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？
  
  ○ mtrajcp さんは、無限への過程によって無限にたどりつくと思っているのか、決して無限にはたどりつかず、無限への過程における有限のみがある思っているのか、どっちなのでしょう？

  No.37の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/09 14:04

• 

  すいません。No.43 へのお礼コメントの
  >次に No.35 の回答中の (0.2111… )₃ が列挙した列の中に現れないときについてですが、…
  の段落は、間違いです。No.35 へのお礼コメントで自分で超限順序数の必要性を導いたのでした。
  
  それを受けて、No.35 での 3進数による実数の列挙では、循環節 1... の後に循環節 2... が来るとき、 (0.111...1110222...)₃ のようにすれば、それは (0.111...1111)₃となって循環節 1... を列挙の中に出現させることができると思いました。

  No.43の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/10 07:24

• そろそろ質問を閉じさせていただきたいと思います。
  返信が追いつかなかった回答者の方を含め、付き合っていただきありがとうございます。最初は相手にされないんじゃないかと心配していたのですが、こんなに反響があるとは。ほとんど反対意見でしたけどね。色々やり取りしましたが、パラドックスになるのではという疑念はついに否定されず、疑念を深める結果になりましたが、私としてはそれもまた良しです。
  ではさようなら。

    補足日時：2023/11/13 12:09

No.33 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/08 18:44

＞詳しく説明いただけると嬉しいのですが。

No.31が既に説明しているじゃない？

No.32 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/08 18:27

＞これは小数を左側の反転した自然数に対応させても、

＞自然数を無限まで列挙すれば、同じことが言えると思います。
＞これでどうでしょうか？

0と1を、左から右へ並べようが、右から左へ並べようが、
その有限列全体の濃度は可算であって、
連続体濃度より陽に小さい　ってだけの話じゃないの？

この回答へのお礼

すみません。
おっしゃる意味が良く分かりませんでした。
詳しく説明いただけると嬉しいのですが。

お礼日時：2023/11/08 18:39

No.31 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/08 17:21

以下のように

0を含む自然数に対して
小数点.を中心に左右反転すると
0 と 1 の間の
有限小数
を2進数で列挙することができるけれども
右側はすべて有限小数なので
決して無限小数は現れないので
0 から 1 までの小数を「列挙できた」とはいえません
もし
右側に
無限(桁の)小数
0.1010101010101010…
があると仮定すると
それに対応する自然数は
…1010101010101010
無限桁の自然数となって
無限桁の自然数は存在しない事に矛盾するから
右側には
無限(桁の)小数
は存在しないのです
だから
小数点以下無限桁の小数は列挙できないのです

0→0.0
1→0.1
10→0.01
11→0.11
100→0.001
101→0.101
110→0.011
111→0.111
…
の「…」は無限に続き
列挙した数の小数点以下の桁も無限に伸びて行くけれども
どこまでも
有限桁の小数であって
決して無限小数は現れないので
0 から 1 までの小数を「列挙できた」とはいえません
自然数も桁数は無限に増えていくけれども
どこまでいっても
有限桁の自然数であって
決して無限桁にはならないのです

この回答へのお礼

早とちりだったら申し訳ないのですが、mtrajcp さんは決して無限にはたどりつかない、無限への過程における有限のみがあるとお考えなのですね？
とすると対角線論法が成り立たないということになりませんか？
対角線論法は無限にある実数のリストが「すべて」列挙されているとした上でのことですので、どこまで行っても実数のリストを有限個しか列挙できないのならば、対角線論法は成り立たないことになるのではないでしょうか？
（これは「無限論の教室」に書いてありました）

お礼日時：2023/11/08 18:10

No.30 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/08 15:34

以下のように

0を含む自然数に対して
小数点.を中心に左右反転すると
0 と 1 の間の
すべての有限小数
を2進数で列挙することができるけれども
右側はすべて有限小数なので
決して無限小数は現れないので
0 から 1 までのすべての小数を「列挙できた」とはいえません

0→0.0
1→0.1
10→0.01
11→0.11
100→0.001
101→0.101
110→0.011
111→0.111

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。私が書いた、
0.0
0.1
0.01
0.11
0.001
0.011
0.101
0.111
...
の「...」は、無限に続く、という意味のつもりだったのですが、そうすると列挙した数の小数点以下の桁も無限に伸びて行き、結果的にこの小数のリストは、小数点以下無限桁の小数をもすべて列挙していると言いたかったのでした。
これは小数を左側の反転した自然数に対応させても、自然数を無限まで列挙すれば、同じことが言えると思います。これでどうでしょうか？

お礼日時：2023/11/08 16:59

No.29 回答者： finalbento 回答日時： 2023/11/08 14:22

質問者様は対角線論法と言う証明を突き付けられても「0から1までの実数全てを列挙する事ができる」と思っておられるようなので、「それができるとするとおかしな話になる(∴列挙する事は不可能)」と言うのを説明させていただきます。

(ただし恐らくは数学的に厳密な証明にはなっていないでしょうから、「直感的な証明」ないしは「証明ではなく説明」と言う事になると思います)

まず一本の数直線(「全ての実数のカタマリ」と考えていいでしょう)を考え、ここから0以上1以下の部分を切り取ります。すると切り取った部分は「0以上1以下の全ての実数を取り出したもの」と言う事になります。

ここでもし「件の実数全てを列挙できる」とすると、実数一つ一つをバラバラに切り離す事ができるはずです。すると例えば、ナイフを入れて切り離す直前には「実数x1と実数x2が隣り合っている」と言う状態が存在するはずです。ところが稠密性と言う実数の性質を考えると、x1とx2の間にも無数の実数が存在するはずです。つまり「件の実数全てを列挙できる」と考えるとおかしな事になる(∴列挙できない)と言う事が分かります。

この回答へのお礼

まず、対角線論法はパラドックスになるという私の疑念を晴らすものではありません。質問文をよく読んでください。

小数を１つ１つ列挙すると、いかにも１つ１つバラバラになっているように見えますが、
x0 = 0.1111...
x1 = 0.1011...
x2 = 0.0111...
...
と「...」が付くこと（特に最後の ...）によって、列挙した小数同士の間にも無限に小数が詰まっている、ある小数には隣の小数というものはないということが表現されているので、その問題は起きないと思います。

お礼日時：2023/11/08 14:46

No.28 回答者： iidthamwt 回答日時： 2023/11/08 11:20

ランキング1位なのに実際は4〜5人とずっと回答をやりとりしてるだけでワロタw

こんなの詐欺ランキングやん

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/08 10:52

0 と 1 の間のすべての小数点以下の桁が 0 と 1 である組み合わせ、

つまり 0 と 1 の間のすべての実数をすべて列挙することはできる
と思うのならば
それを証明してください

対角線論法そのものがその反論となっているのです

対角線論法によって
0 と 1 の間のすべての小数点以下の桁が 0 と 1 である組み合わせ、
つまり 0 と 1 の間のすべての実数をすべて列挙することはできない
という事が証明されているのです

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お礼欄で失礼します。
証明、と言えるのかは分かりませんが、以下のように規則的に 0 と 1 の間の小数を２進数で列挙することとができると思います。
0.0
0.1
0.01
0.11
0.001
0.011
0.101
0.111
...
これをもって 0 から 1 までの小数を「列挙できた」と私は言っているのですが、おかしいでしょうか？ おかしかったら是非その指摘よろしくお願いします。

お礼日時：2023/11/08 13:54

No.26 回答者： finalbento 回答日時： 2023/11/07 23:52

他の方のお礼コメントに対して勝手に少し。

角の三等分問題を挙げていましたが、御存知のように角の三等分を作図で行う事は(一般的には)不可能である事が証明されています。そして対角線論法により「0と1の間の実数を全部挙げる事」も不可能であると証明されています。なので「0と1の間の実数を全部挙げる事ができる」と考えておられる質問者様は「角の三等分ができる」と信じているのと同じだと言う事です。できないと証明されている事をできると信じているので。

No.25 回答者： finalbento 回答日時： 2023/11/07 23:46

今回のお礼コメントを読んで改めて。

質問者様の意識がどうであれ、現在の質問者様は対角線論法を全く認めておられませんし正しいとも思っておられません。「実数を列挙する事ができない」と言う事を証明した(少なくともそのように主張している)のが対角線論法であるわけですから、「実数を列挙できる」と主張する事は対角線論法を認めていない事に他なりません。なので恐らくは対角線論法の内容をまだ理解できていないのだと思います。

PS:ひょっとしたら「列挙」の意味を独自的に用いておられるのかもしれないので改めて言うと、実数を列挙すると言うのは「1、1/2、√2、π、……」と言った具合に実数を全部挙げて行く事です。そして何度も書くようにこれが不可能である(無限個挙げたとしてもまだ挙がっていない実数が必ずある)と言う事を主張しているのが対角線論法です。

No.24 回答者： 都の西北我瀬駄の隣バカ田大学危機管理学科 回答日時： 2023/11/07 23:23

>実数の列挙はできてしまうのではないでしょうか？

「列挙」の定義によるなwwwwwwwwwww
「列挙」は、普通は「一つ一つ数えあげること」を意味するから、実数の列挙はできない。

　あーぁ、やはり所詮は角の三等分家か・・・・

　もうこの辺で打ち切りにしたら。不毛なQ&Aが続くだけだ。

この回答へのお礼

お礼欄で失礼します。
角の三等分家とは三等分できないと証明されているのにそれを追い求め続けている人たちことですね？ 私を角の三等分家と言うなら、私の意見のどこがいけないのか、なぜ「0 と 1 の間のすべての小数点以下の桁が 0 と 1 である組み合わせ、つまり 0 と 1 の間のすべての実数をすべて列挙することはできる」と考えるといけないのかを納得できるように示してください。それが私の望むものです。

お礼日時：2023/11/07 23:36