数学の問題です。(2)のAF=pAB+qAD+rAEをみたす実数p,q,rのところが、p=q=1,r

数学の問題です。(2)のAF=pAB+qAD+rAEをみたす実数p,q,rのところが、p=q=1,r=-1になったんですけど、合ってますかね？あと、(3)の面積の最小値を求める問題は、面積の公式にそれぞれの値を代入して、ゴリ押しすればいけるのでしょうか。分かる方教えて下さい。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/07 00:48

No.1 です。

あと、手書きで書いてある (1) は間違っているよ。
AB と AE、AD と AE のなす角は何度？

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2024/02/08 13:50

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/08 12:45

No.1&2 です。

やってみたけど、確かににおかしいですね。

(1) ABCD は正方形なので
　→b･→d = cos(90°) = 0
△ABE、△ADEは正三角形なので
　→b･→e = cos(60°) = 1/2
　→d･→e = cos(60°) = 1/2

(2) →AF = →AC + →CF
で
　→AC = →b + →d
なので
　→AF = →b + →d + →CF
ここで
　→CF = →EA = -→AE = -→e
なので
　→AF = →b + →d - →e
よって
　p=1, q=1, r=-1

(3) →AG = →AB + (2/3)→BE
→BE = →OE - →OB = →e - →b
なので
　→AG = →b - (2/3)→b + (2/3)→e = (1/3)→b + (2/3)→e

また
　→AH = →AC + t→CF
ここで
　→AC = →b + →d
　→CF = →EA = -→e
なので　
　→AH = →b + →d - t→e

（(2) の結果を使って →AH = →AF + (1 - t)→FC から求めてもよい）

よって
　→AG･→AH = [(1/3)→b + (2/3)→e]･[→b + →d - t→e]
　= (1/3)|→b|^2 + (1/3)→b･→d - (1/3)t→b･→e + (2/3)→b･→e + (2/3)→d･→e - (2/3)t|→e|^2
　= (1/3) + 0 - (1/6)t + (1/3) + (1/3) - (2/3)t
　= 1 - (5/6)t

一方、余弦定理より
　AG^2 = AB^2 + BG^2 - 2AB･BGcos(60°)
　　　= 1 + (4/9) - (2/3)
　　　= 7/9

同様に
　AH^2 = AC^2 + CH^2 - 2AC･CHcos(45°)
　　　= t^2 - 2t + 2

従って、与えられた面積を求める式のルートの中は
　|→AG|^2･|→AH|^2 - (→AG･→AH)^2
= (7/9)(t^2 - 2t + 2) - [1 - (5/6)t]^2
= (7/9)t^2 - (14/9)t + (14/9) - 1 + (5/3)t - (25/36)t^2
= (1/12)t^2 + (1/9)t + 5/9
= (1/12)[t + (2/3)]^2 - 1/27 + 5/9
= (1/12)[t + (2/3)]^2 + 14/27

よって、t=0 のときが最小。
そのとき
　S = (1/2)√(5/9) = (√5)/6

ただし、0<t<1 なので「最小値はない」かな。

どこかで間違っているかなあ？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/07 09:18

(3)

ゴリ押しっていうほどの計算量でもないんじゃない？
正八面体の性質から →AC, →AF を →b, →d, →e で表せば、
→AG, →AH を t の入った式で書くことができる。
問題文に与えられた式から、 (1) を使えば
4S^2 を t の二次式で書くことができて、
微分することもなく最小値は求まる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2024/02/08 13:50

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/07 00:42

(2) 合ってます。

(3) やってみればいいんじゃないの？