三次方程式x^3+3x^2+(a-4)x-a=0が2重解をもつとき、定数aの値を求めよ。 この問題の

三次方程式x^3+3x^2+(a-4)x-a=0が2重解をもつとき、定数aの値を求めよ。
この問題の途中式を含めて解説をお願いします。
答えはa=4,-5です。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/29 11:53

どうも　代数的に解くことに拘り過ぎていたようだ！

N0.5の回答からヒントを得たので幾何的に解けば早い

P(x)＝x^3+3x^2+(a-4)x-a=x^3+3x^2+-4x+ax-a
=x(x-1)(x+4)+a(x-1)　　　　　　　　　　　　　　.............(0)
=(x-1)Q(x) とおけるから
P(1)=0 となり　aの値に拘わらずP(x)はx=1の解を持つ　...........(1)

P(x)/(x-1)=x(x+4)+a であり　今
f(x)=x(x+4)
g(x)=a
と分けると

三次方程式x^3+3x^2+(a-4)x-a=0が2重解をもつためには
一つの解は　x=1 であるので　他の解の内1つもx=1である場合.....(2)
と他の解の2つともx=1でなくて重解である................................(3)
の2通りである。
ここからは作図してもらったらいいが
y=f(x)は x軸の交点が　0,-4 である下向きの2次関数であり
y=g(x)は　x軸に平行な直線である
P(x)=f(x)+g(x) であり2つの曲線等の合成であるから
　0と　-4の中点が軸の線であるので
f(-2)=(-2)(-2+4)= -4 であり
(3)の場合なら　g(x)=4であれば　その合成関数P(x)は重解をもつから
　a=4 で適！
(2)の場合は　x=1の解を持つためには　f(x)とg(x)の合成関数P(x)は
　a=5 ならばいい！
(同様に　f(-2)= -4 であり　P(-2)で1になるためには　1=-4+5 だから　　5あればいいから！)

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/28 17:10

私は別解。

f(x) = x^3+3x^2+(a-4)x-a
とすると、その微分は
f'(x) = 3x^2+6x+a-4
従って停留点のx は
x = -1±√(21-3a)/3

重根では停留点で f(停留点のx)=0 になるので、
f(-1-√(21-3a)/3)=0
f(-1+√(21-3a)/3)=0
をがしがしがしがしがしがしがしがしがしがし解くと
a = 4, -5
正攻法だとは思うけど大変だった・・・無駄に手間がかかりました。
やっぱさっさと因数分解した方が早い(^^;

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/28 16:18

P(x)＝x^3+3x^2+(a-4)x-a=x^3+3x^2+-4x+ax-a

=x(x-1)(x+4)+a(x-1)=(x-1)Q(x) とおけば
P(1)=0 となり　aの値に拘わらずP(x)はx=1の解を持つ　...........(1) また
P(x)が　極小値か極大値のとき重解をもつから
P'(x)=3x^2 +6x+a-4=3(x+1)^2 -3+a-4 =0 から
∴x= -1±(7-a)/3 ..............................................................(2)
また　三次方程式x^3+3x^2+(a-4)x-a=0が2重解をもつためには
図形の形からして　2通りの形しかないので　(1)を考慮して
1) x=1の解の他　1未満の値で極大値の点が重解である　
ガチャガチャ計算してa= -5
2) 1未満の解の他　その解と1の間に極大値があり　x=1で極小値で重解である (2)から　　a=4,10 10は不適で a=4
　最終的にはNo3に行きつく！チカレタビー！！

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/28 14:37

多項式 f(x) が重根 y を持つ条件は、f(y) = f’(y) = 0 です。

f(x) = x^3 + 3x^2 + (a-4)x - a の場合は、
y^3 + 3y^2 + (a-4)y - a = 3y^2 + 6y + (a-4) = 0 になります。

多項式の割り算をして
3( y^3 + 3y^2 + (a-4)y - a ) = ( 3y^2 + 6y + (a-4) )(y+1) + (2a-14)y - (4a-4)
なので、(2a-14)y - (4a-4) = 0 でもあります。
ここで得られた y = (2a-2)/(a-7) を 3y^2 + 6y + (a-4) = 0 へ代入して
式を整理すると、a についての方程式 a^2 + a - 20 = 0 が得られ、
二次方程式を解いて a = 4, -5 が得られます。

ここまででは必要条件だけですから、解の吟味が必要になります。
a = 4 のとき f(x) = x^3 + 3x^2 - 4 となって x = y = -2 が重根であり、
a = -5 のとき f(x) = x^3 + 3x^2 -9x + 5 となって x = y = 1 が重根です。
よって、答えは a = 4, -5 でよい。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/27 21:36

P(x)＝x^3+3x^2+(a-4)x-a

とおくと、
P(1)＝1+3+(a-4)-a＝0
だから、因数定理により三次方程式左辺は
x-1を因数に持つことがわかる
→(x-1)(x²+4x+a)＝0
①x＝1が重解の場合
(x²+4x+a)＝0の一つの解がx＝1でなければいけないから
1²+4・1+a＝0よりa＝-5
(残りのもう一つの解は幾つになるか確認してください)
②(x²+4x+a)＝0がx＝1以外の重解を持つ場合
判別式は
D/4＝2²-a＝0
a＝4
(このとき、x²+4x+4＝0の重解はx＝2)

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/27 21:15

2次方程式が重解を持つときは どんな形の式なる？

(x-n)²=0 だよね。
では、質問の ３次式では (x-n)²(x-m)=0 だよね。
これを展開して 問題の式と係数を比較すれば、
連立1次方程式が出来ますね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/27 20:02

二重解をもつということは、A≠B の A, B に対して

x^3 + 3x^2 + (a-4)x - a = (x - A)^2･(x - B) = 0　　　　①

と書けるということです。

真ん中の式を展開すれば

　(x - A)^2･(x - B) = (x^2 - 2Ax + A^2)(x - B)
= x^3 - (2A + B)x^2 + (A^2 + 2AB)x - A^2･B 　　　　　②

ですから、①が恒等的に成り立つためには
　2A + B = -3　　　　　　③
　A^2 + 2AB = a - 4　　　④
　A^2･B = a　　　　　　⑤
ということです。

この連立方程式を解けば
④ - ⑤ より
　A^2 + 2AB - A^2･B = -4　　　　⑥
①より
　B = -2A - 3　　　　⑦
を⑥に代入して
　A^2 - 2A(2A + 3) + A^2･(2A + 3) = -4
→　A^2 - 4A^2 - 6A + 2A^3 + 3A^2 = -4
→　2A^3 - 6A + 4 = 0
→　A^3 - 3A + 2 = 0
A=1 がこれを満たすことが分かるので、因数分解してみれば
　(A - 1)(A^2 + A - 2) = 0
→　(A - 1)(A + 2)(A - 1) = 0
→　(A - 1)^2･(A + 2) = 0
よって、これを満たすのは
　A = -2, 1
⑦より
　A = -2 のとき B = 1
　A = 1 のとき B = -5

以上より
A = -2, B = 1 のとき、⑤より
　a = 4
A = 1, B = -5 のとき、⑤より
　a = -5