変な計算方法（笑）

袋の中に1から7までの番号が書かれた球が入っている。ここから同時に3個の球を取り出す。取り出された3個の球に書かれている数を大きい順にX、Y、Zとする。X、Y、Zのそれぞれの期待値を求める。ただし、7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて、どの球も取り出される確率は等しいとする。

　普通に解けば
X の期待値
　　P(X=3) = C(2,2)/35 =　1/35
　　P(X=4) = C(3,2)/35 =　3/35
　　P(X=5) = C(4,2)/35 =　6/35
　　P(X=6) = C(5,2)/35 = 10/35
　　P(X=7) = C(6,2)/35 = 15/35
　　∴E[X] = 3(1/35) + 4(3/35) + 5(6/35) + 6(10/35) + 7(15/35)
　　　　　 = 6

Y の期待値
　　P(Y=2) = C(5,1)/35　　　　= 5/35
　　P(Y=3) = C(4,1)*C(2,1)/35 = 8/35
　　P(Y=4) = C(3,1)*C(3,1)/35 = 9/35
　　P(Y=5) = C(2,1)*C(4,1)/35 = 8/35
　　P(Y=6) = C(5,1)/35　　　　= 5/35
　　∴E[Y] = 2(5/35) + 3(8/35) + 4(9/35) + 5(8/35) + 6(5/35)
　　　　　 = 4

Z の期待値
　　P(Z=1) = C(6,2)/35 = 15/35
　　P(Z=2) = C(5,2)/35 = 10/35
　　P(Z=3) = C(4,2)/35 =　6/35
　　P(Z=4) = C(3,2)/35 =　3/35
　　P(Z=5) = C(2,2)/35 =　1/35
　　∴E[Z] = (15/35) + 2(10/35) + 3(6/35) + 4(3/35) + 5(1/35)
　　　　　 = 2 …… ※

でいいと思うのですが、次のような解き方のまずい点をご指摘ください。

　まず上記の Z の期待値を求めておきます。どれでもいいのですが Y より簡単そうなので（笑）。
　次に袋に入っている球を 3 個に減らし、同じことを実行します。球には 1 から 3 までの相異なる番号が書かれています。袋から同時に 3 個取り出すとき大きい順に X、Y、Z とするので。X、Y、Z の期待値は即座に

　　E[X] = 3, E[Y] = 2, E[Z] = 1

がわかります。4個の時も

　　E[X] = 15, E[Y] = 10, E[Z] = 5

を簡単に計算できます。この結果から

　　E[X]:E[Y]:E[Z] = 3:2:1

と見なし、本来の問題が求めている7個取り出す試行の期待値 E[X]、E[Y]を※から
　　E[X] = 3E[Z] = 6
　　E[Y] = 2E[Z] = 4
と計算するのはどうかということです。まともに解くより少し計算は楽をしそうですが・・・

質問者からの補足コメント

• > 4個の時も
  > 　　E[X] = 15, E[Y] = 10, E[Z] = 5
  
  　　E[X] = 15/4, E[Y] = 10/4, E[Z] = 5/4
  
  の間違いです。

    補足日時：2024/02/28 22:52

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/28 22:58

たぶんどこか 1点うまく回避できればいけるようにも思うんだけど, ただ「まず上記の Z の期待値を求めておきます。

どれでもいいのですが Y より簡単そうなので（笑）。」が実は的を外しちゃってるので実際にはなんともならないのかもしれない.

E[Y] だけは簡単に計算できるんだよなぁ....

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/01 20:36

あんまりまじめに考えてないけど E[X] だけはまじめに計算して, E[Y] と E[Z] はうまく工夫するってのがうまい落としどころじゃないかなって気もする.

この方法だと「3:2:1」はどこにも出てこないけど.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/28 21:44

「見なし」のところがアウトなのはほとんど自明じゃないかなぁ....

「4個の時」に
E[X] = 15
になるんでしょうか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
> 「見なし」のところがアウトなのはほとんど自明じゃないかなぁ....
　もちろんです。だから、簡単に証明するにはどうすればいいのかと^^;

> 「4個の時」に
> E[X] = 15
> になるんでしょうか?
　E[X] = 15/4 でした。

お礼日時：2024/02/28 22:42

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/02/28 16:23

ポイントは、

　1つ目=1、2つ目=2、3つ目=3
　1つ目=1、2つ目=3、3つ目=2
　1つ目=2、2つ目=1、3つ目=3
　1つ目=2、2つ目=3、3つ目=1
　1つ目=3、2つ目=1、3つ目=2
　1つ目=3、2つ目=2、3つ目=1
は同じ数値(この場合 ”321” )になるって事を押さえておけばいい。

('ω') こう考えれば、たいして難しい話じゃないよね

この回答へのお礼

お礼日時：2024/02/28 22:42