標準偏差

の動画の21分あたりからです。
なんちゃって計算で１日ボラの求め方の説明で
どうして１日ボラを求めるときにIV×２４５分の１ではなくてルート２４５をかけるのですか。
どうしてルートがつくのかがいくら考えてもわかりません。

どなた様かやさしくわかりやすく教えていただけませんか。
よろしくお願いします。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/16 18:47

価格が人気で決まるというシロモノの場合、その価格は1日後にはどうなるか。

そんなこと、もちろん分からんわけですけど、確率分布を考えることならできる。（ただし、現実において、この分布が正規分布ではない、ということはよく知られています。正規分布に比べると、大きな変化（つまり、暴騰や暴落）が生じる確率がケタ違いに大きい。なのにそれを正規分布だと仮定したのが金融工学で、当然ながら大失敗をショーコリもなく繰り返してリーマンショックもやらかしたわけですが、ま、現実の話はさておき、以下は純粋に確率論の話です。）
　で、確率分布の種類によっては、「分散」σ²というものが定義できる場合がある。そのとき、分散σ²の平方根を「標準偏差」σと言う。（これを「ボラティリティー」と呼ぶ文化を持っている業界もある。しかし珍奇にも「ボラ」だなんて呼ぶ業界はないと思う。ってのはともかく。）
　次に、1日後から2日後への1日間の変化もまた全く同じ確率分布に従って生じるものだと仮定しますと、現時点から見た2日後の価格の確率分布はどうなるか。その確率分布の形は1日後のものとは変わる。けれどもその分散σ²は、1日後の価格の確率分布の分散の2倍になる。一般に、毎日全く同じ確率分布に従って変動が積み重なっていくのなら、r日後の分散σᵣ²が1日の変化の分散σ²のr倍になる。これは一般に（すなわち確率分布が正規分布でなくても）成り立つ性質であり、確率論で証明できます。

　以上の準備のもとで、さてご質問は、「毎日、全く同じ確率分布に従って変化が生じるものと仮定して、r=245日後の価格の確率分布の標準偏差がσᵣであるとすると、1日後の価格の確率分布の準偏差σはいくらか」という話と同じこと。
　　σᵣ² = r σ²
なので、これをσについて解けば
　　σ = √(σᵣ²/r) = σᵣ/√r
というわけ。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/16 11:59

ボラティリティとは「分散」のことであり、分散とは「平均からのバラツキ」を表わすもので、

「平均との偏差の２乗の平均」
で定義します。

本当は「平均との偏差の平均」を出したいのですが、それでは「必ずゼロになる」ことはわかりますか？　そもそもの「平均」ってそういうもので、「プラスの偏差」と「マイナスの偏差」をならしたものですから。
それを求めたいときには「平均との偏差の『絶対値の』平均」を出せばよいのですが（「マイナスの偏差」もすべて「プラス」にして「偏差の大きさの平均」を求める）、それは計算がめんどうなので、「２乗して（そうすれば必ず「プラス」になる）平均する」ことにしたのが「分散」です。

２乗しているので「お金」の単位「円」だと「分散」は「円の２乗」という単位になって、「バラツキ度合い」は分かっても「その値が何を意味するのか」が不明になります。
なので、それを「円」という単位で評価するには「平方根」をとって「円の２乗」を「円」に戻します。それが「標準偏差」と呼ばれるものです。

「分散」にせよ「標準偏差」にせよ、そういう指標として定義したということであって、それが何を意味するのかは使い方によります。
数学的には
・平均 ± 標準偏差
の中に全体の 68% が入る、ということになります。
なぜ「68％」かは、上の定義に基づくと数学的な分布がそうなる、というだけの話です。
下記のような「正規分布」を見てもらえば、なんとなく「そんなものか」と分かると思います。
↓
https://gmo-research.jp/research-column/standard …
https://www.pref.niigata.lg.jp/uploaded/attachme …

分散が「バラツキの１年の平均」であれば、それはある期間の「バラツキ（平均との偏差の２乗）」を「年数」で割ったものになります。
「バラツキの１日ごとの平均」であれば、さらに「日数」で割ることになります。
それで求めたものが「分散」ですから、ルートをとって「標準偏差」に直せば、分散の計算で「年数で割った」「日数で割った」ものは、標準偏差だと「年数の平方根で割った」「日数の平方根で割った」ということになります。
「何故そうするのか」ではなくて、「そうやって計算するように定義した」からです。

日本では、何故か「経済学は文系」に分類されていますが、欧米では経済学はれっきとした「理科系」の学問です。
それを学ぶにも運用するにも、「数学」や「論理学」は必須です。
株の運用をするのに「浪花節」や「精神論」「気合いだ！」では通用しません。
最低限の数学的素養を身に付けましょう。

No.3 回答者： rinkun 回答日時： 2024/03/16 10:57

標準偏差の作り方が分散の平方根というものだからです。

分散は各要素と平均値の差の二乗の平均値です。各要素と平均値の差はプラスもあればマイナスもありますが、そのまま足すと(平均の定義から)ゼロになってしまうので、二乗して各要素の差が必ずゼロ以上になるようにしてから平均を取ります。二乗平均が分散、その平方根が標準偏差です。平均は和を個数で割るので、その平方根を取る標準偏差ではルート(個数)で割ることになります。
ほかに差の絶対値で平均を取る平均偏差というものもありますが、絶対値を含む計算は理論的な扱いが面倒なので標準偏差の方がよく使われます。

No.2 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/03/16 10:33

たぶん貴方は理解できないと思う。

どこからつまづきましたか？　小学校の算数から？　中学校の数学から？

標準偏差は一般的には大学１年生くらいで学びます。きちんと数学が理解できているなら高校生でも理解できますけれども、貴方は基礎学力が低そうだから無理だと思う。

諦めて下さい。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2024/03/16 09:49

すげぇ感覚的に説明するなら、平均値より大きいプラス側のデータもあるし、小さいマイナス側のデータもあって、プラスとマイナスを単純に足し算してしまったら０になるから、二乗した数値を使って計算するので、最後にルートを取っている。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

標準偏差は、365日各日の平均との差を二乗して365でわったものの√と説明がありますが、
どうしていきなり365(245)に√をつけるのですか。

そこがわからりません。

数学音痴ですみません。

お礼日時：2024/03/16 10:14