過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法：ファイナル』について

過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法：ファイナル』
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13655137.html
で、「『とは言えない』というような曖昧な言い方しかできないが、いずれにしても、表にすべての実数が存在することを証明するには、表に存在しない実数が存在しないことを証明しなければならず、それはいわゆる悪魔の証明なので、否定する場合は、否定する側に表に存在しない実数が存在することを証明してもらうしかない」と書いたところ、「話は異様に長いが、ようするに、その表に現れない具体的な実数を挙げるには表の構成が具体化されてなければならないが、表の構成自体がオプションを含んでいるためそこが曖昧なままでは具体的な反例は挙げようがないってだけな話なんだよなあ...対角線論法とか論理的厳密性とか以前の薄っぺらいトリックに過ぎない。要反省。」という回答を頂いたのですが、

・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・　　　
・
・

という表に存在しない実数というのは、従来と変わらず、例えば、自然数nと対応している実数の小数第n位の数字の1ずらしたものを小数第n位に入れていった実数、すなわちこの場合は、

0.356343…

という実数の小数第n位の数字と、表の自然数nと対応している実数の小数第n位の数字が異なるので、この実数は表に存在しないと言えるのではないでしょうか。

これはというような回答がない場合はファーストアンサーをベストアンサーにします。

質問者からの補足コメント

• 

  簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
  
  ・
  ・
  ・
  11 → 8.773193…
  9 → 4.646104…
  7 → 9.563623…
  5 → 3.432335…
  3 → 7.355038…
  1 → 0.222086…
  2 → 3.141592…
  4 → 1.414213…
  6 → 6.661922…
  8 → 5.138924…
  10 → 2.901877…
  12 → 0.222555…
  ・　　　
  ・
  ・
  
  という表に
  
  0.356343…
  
  という実数は存在しない。○か✖か。

    補足日時：2024/04/15 11:47

• 

  β(N)って整列させられないんですか。
  
  例えば
  
  (1,1)(1,2)(1,3)…
  (2,2)(2,3)(2,4)…
  ・
  ・
  ・
  (1,1,1)(1,1,2)(1,1,3)…
  (1,2,2)(1,2,3)(1,2,4)…
  ・
  ・
  ・
  
  みたいに。整列させられるなら、全自然数と全有理数の1対1対応と同じようにジグザグにというかうまく対応させていけばいいのではないでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/15 12:24

• 

  間違えました。
  
  (1,2)・(1,3)・(1,4)…
  (2,3)・(2,4)・(2,5)…
  ・
  ・
  ・
  
  (1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
  (2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
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  ・
  ・
  
  かな。自然数が1,2,3の三つだけとした場合、すべての部分集合の集合の要素は、(1)・(2)・(3)・(1,2)・(1,3)・(2,3)かな。有限の場合はすべての要素同士は1対1対応にならないけど、無限の場合は1対1対応になるのではないでしょうか。

    補足日時：2024/04/15 13:34

• 

  訂正
  
  簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
  
  Nのすべての部分集合の集合は
  
  ()・(1,2,3…)
  
  (1)・(2)・(3)…
  
  (1,2)・(1,3)・(1,4)…
  (2,3)・(2,4)・(2,5)…
  ・
  ・
  ・
  
  (1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
  (2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
  ・
  ・
  ・
  
  (1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
  (2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
  ・
  ・
  ・
  
  というように規則的に並べることができる。○か✖か。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/16 11:39

• 

  整列できないかも。

    補足日時：2024/04/16 11:54

• 

  (全は省略)自然数の部分集合の集合と実数はどうやって1対1に対応させるのでしょうか。
  
  () → 4.646104…
  (1,2,3…) → 9.563623…
  (1) → 3.432335…
  (1,2) → 0.222555…
  ・
  ・
  ・
  
  じゃだめなわけでしょ。無限には大小二種類しかないことが証明されてればあれだけど、中間の無限が存在しないことは証明されてないんですよね。

    補足日時：2024/04/17 13:16

• 

  一番の疑問はダブルスタンダードってことかな。自然数と実数は
  
  1 → 5.138924…
  2 → 2.901877…
  3 → 0.222555…
  ・　　　
  ・
  ・
  
  というように対応させられないから対応させられないと言いながら、自然数の部分集合と実数は
  
  () → 4.646104…
  (1,2,3…) → 9.563623…
  (1) → 3.432335…
  (1,2) → 0.222555…
  ・
  ・
  ・
  
  というように対応させられなくても対応させられるって具合に。

    補足日時：2024/04/18 12:39

• 

  自然数の部分集合と実数は
  
  () → 4.646104…
  (1,2,3…) → 9.563623…
  (1) → 3.432335…
  (1,2) → 0.222555…
  ・
  ・
  ・
  
  というように対応させられるということですか。少なくとも表に存在しない実数があると思うのですが。
  
  これでいいなら自然数と実数も1対1に対応させられるのでは？

    補足日時：2024/04/19 11:58

• 

  ・
  ・
  ・
  11 → 8.773193…
  9 → 4.646104…
  7 → 9.563623…
  5 → 3.432335…
  3 → 7.355038…
  1 → 0.222086…
  2 → 3.141592…
  4 → 1.414213…
  6 → 6.661922…
  8 → 5.138924…
  10 → 2.901877…
  12 → 0.222555…
  ・　　　
  ・
  ・
  
  という表に
  
  0.356343…
  
  という実数は存在しない。○か✖か。
  
  この質問には最後まで答えてもらえなかった。前回指摘できなかったことに思うところがあるのだろうか。とにかくこういう風に具体的に指摘してもらえれば理解できるのだが。

    補足日時：2024/04/19 16:18

• 

  「どこの誰が
  自然数の部分集合と実数は
  
  () → 4.646104…
  (1,2,3…) → 9.563623…
  (1) → 3.432335…
  (1,2) → 0.222555…
  ・
  ・
  ・
  
  というように対応させられない
  
  って書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.」
  
  という返しも変ではっきりしない。この場合は
  
  「いいえ
  
  () → 4.646104…
  (1,2,3…) → 9.563623…
  (1) → 3.432335…
  (1,2) → 0.222555…
  ・
  ・
  ・
  
  が、自然数の部分集合と実数の1対1対応の表です」と返すべき。

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/19 16:24

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/15 19:12

N=(全自然数の集合)

β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする

Nからβ(N)への1対1対応(全射)写像 f があると仮定すると

そのとき
Nの各元aのfによる像f(a)はβ(N)の元,すなわちNの部分集合である
したがって
Nの任意の元aに対し,
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれか一方しかも一方だけが必ず成り立つ
いま,
a∈N-f(a)であるようなNの元全体のつくるNの部分集合をBとする.すなわち
B={x|x∈N-f(x)}

任意のa∈Nに対して
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれかである
もし　
a∈f(a)　ならば　a∈N-f(a)でないから　a∈N-B となるから
a∈f(a)-B だから　f(a)≠B
もし
a∈N-f(a)　ならば a∈B となるから
a∈B-f(a) だから　f(a)≠B
以上で
任意のa∈Nに対して
f(a)≠B
であることが証明された
から

fが全射であることに矛盾するから

∴
Nからβ(N)への(1対1対応)全単射は存在しない

この回答へのお礼

簡潔に質問するので簡潔にお答えください。

Nのすべての部分集合の集合は

()・(1,2,3…)

(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・

(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・

(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・

というように規則的に並べることができる。○か✖か。

お礼日時：2024/04/16 11:35

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/14 20:27

N=(全自然数の集合)

β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする

fをNからβ(N)への任意の1つの写像とする
そのとき
Nの各元aのfによる像f(a)はβ(N)の元,すなわちNの部分集合である
したがって
Nの任意の元aに対し,
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれか一方しかも一方だけが必ず成り立つ
いま,
a∈N-f(a)であるようなNの元全体のつくるNの部分集合をBとする.すなわち
B={x|x∈N-f(x)}

任意のa∈Nに対して
a∈f(a) または　a∈N-f(a)
のいずれかである
もし　
a∈f(a)　ならば　a∈N-f(a)でないから　a∈N-B となるから
a∈f(a)-B だから　f(a)≠B
もし
a∈N-f(a)　ならば a∈B となるから
a∈B-f(a) だから　f(a)≠B
以上で
任意のa∈Nに対して
f(a)≠B
であることが証明された
から
fは全射ではない
∴
Nからβ(N)への全単射は存在しない


Rからβ(N)への全単射は存在する
から
NからRへの全単射が存在すると仮定すると
Nからβ(N)への全単射が存在することになって
Nからβ(N)への全単射は存在しないことに矛盾するから

N(全自然数)からR(全実数)への全単射は存在しない

この回答へのお礼

β(N)が何なのかと、「Rからβ(N)への全単射は存在する」のがなぜかがわかりません。

お礼日時：2024/04/15 11:41