同時に真であり偽である命題はありえるでしょうか？

５月２４日付で木枯らしさんから同じ趣旨の質問が出されましたが、十分回答が寄せられないうちに明らかに間違っていると思われる回答がベストアンサーとされてクローズとなりました。このままでは読まれた方が誤解する恐れがあるので再度問題として提示したいと思います。

ベストアンサーとされた回答は不完全性定理についての誤解があるので、この際指摘しておきたいと思います。

ゲーデルの第一不完全性定理は、
「無矛盾な公理系には証明不可能な命題が存在する。」というものです。
ゲーデルは算術的に「この命題は証明できない」という意味の命題を作ってそのことを示しました。
もしこの命題が証明されてしまえば、「証明できない」ものが証明できることになり、数学理論は矛盾していることになります。もし証明できないのなら、その命題は文字通り「証明できない」ので、超数学的にその命題は「真」であるということになります。

ここでいう数学の完全性とは、「すべての命題が真であるか偽であるかを証明できる」ということを指しています。ということなので、「真であるのに証明できない命題がある」から数学は不完全であるというのです。ベストアンサーの「全てが『真でもあり偽でもある』のだ。」とは矛盾そのものであり、暴論だと思うのですがどうでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/02 10:49

>>真でもあり偽でもある

こういう事は無いでしょう。
不完全性定理を勝手に拡大解釈しただけだと思います。

「ペアノの算術の公理を含む無矛盾な形式的体系において、その体系内で証明も、否定の証明も出来ない命題が存在する」
と言うのが、不完全性定理なので、証明不可能と言ってるだけですね。

『真でもあり偽でもある』では無く、真偽を証明出来ない命題があるといってる。

ですね。

不完全の意味も取り違えている。
おっしゃる通り、全ての命題がその体系内で証明(真偽の証明）できる事が「完全」、全てを証明出来る訳では無いが「不完全」ですね。

公理系の判定基準にはあと２つ、独立性と無矛盾性がありますね。

この回答へのお礼

(No.2も含めて)丁寧な説明を有難うございました。

お礼日時：2016/06/09 11:09

No.3 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2016/06/02 20:29

こんばんは。

命題とは、真、偽のいずれか一方の値をとるもの、定まるものであり、「同時に真であり偽であるもの」はそもそも命題ではありません。
ですから、命題の定義からして、「同時に真であり偽である」ということはありえません。

ただ、◯◯の公理群から真である命題だけれど、それとは異なる△△という公理群では、その命題が偽になることはありえるでしょう。
例えば、三角形の内角の和は１８０°という命題は、ユークリッド幾何学では真の命題ですけれど、非ユークリッド幾何学では偽になったりします。

こういうことを「同時に真であり偽であるもの」と表現しているのならば話は違ったものになりますけれど、そうでなければおかしな話だと思いますよ。

この回答へのお礼

命題の定義として、「真、偽のいずれか一方の値をとるもの」というのは、真でも偽でもないような無意味な言表を排除するということでしょうね。
ただし、ここでは「真、偽のいずれでもある」という無矛盾律を侵すような言表そのものを問題にしているわけですから、命題の定義から否定してしまうのはどうかなと思います。
そもそも無理な質問をしているわけで、おっしゃっていることはごもっともであると思います。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2016/06/09 11:20

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/06/02 12:37

No.1続きです。

肝心な事を忘れました
>>真でもあり偽でもある
ペアノの算術の公理を含む形式的体系で必須条件は無矛盾性。

無矛盾性=その公理系から互いに相矛盾する定理を証明する事が不可能。
真でもあり偽でもある命題が証明されたら無矛盾性に反する。

ある公理系からA∧(￢A)｛Aであり　且つ　Aで無い｝が証明出来たら、この命題は常に偽だから、この命題を前提にした結論は全て真になってしまう。

数学は全くのデタラメになってしまう。

数学の無矛盾性はゲーデルの第二不完全性定理により、数学手段では証明不可能ですが、ゲアハルト・ゲッチンによって1936年に数学よりメタな概念によって証明されています。

「真でもあり偽でもある」：これは数学では無いと言う事ですね。