過去質『すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル』
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13655137.html
で、「『とは言えない』というような曖昧な言い方しかできないが、いずれにしても、表にすべての実数が存在することを証明するには、表に存在しない実数が存在しないことを証明しなければならず、それはいわゆる悪魔の証明なので、否定する場合は、否定する側に表に存在しない実数が存在することを証明してもらうしかない」と書いたところ、「話は異様に長いが、ようするに、その表に現れない具体的な実数を挙げるには表の構成が具体化されてなければならないが、表の構成自体がオプションを含んでいるためそこが曖昧なままでは具体的な反例は挙げようがないってだけな話なんだよなあ...対角線論法とか論理的厳密性とか以前の薄っぺらいトリックに過ぎない。要反省。」という回答を頂いたのですが、
・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・
・
・
という表に存在しない実数というのは、従来と変わらず、例えば、自然数nと対応している実数の小数第n位の数字の1ずらしたものを小数第n位に入れていった実数、すなわちこの場合は、
0.356343…
という実数の小数第n位の数字と、表の自然数nと対応している実数の小数第n位の数字が異なるので、この実数は表に存在しないと言えるのではないでしょうか。
これはというような回答がない場合はファーストアンサーをベストアンサーにします。
No.12
- 回答日時:
どこの誰が
自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられない
って書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.
自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられるということですか。少なくとも表に存在しない実数があると思うのですが。
No.11
- 回答日時:
全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
f
があると仮定する
{x|x∈N-f(x)}
は
自然数の部分集合だから
それに対応する
自然数
a
があるはずで
f(a)={x|x∈N-f(x)}
となるはずだけれども
aは自然数でf(a)は自然数の部分集合だから
a∈f(a)
または
a∈N-f(a)
のどちらかが必ず成り立つはず
a∈f(a)と仮定すると
a∈f(a)={x|x∈N-f(x)}
だから
a∈{x|x∈N-f(x)}
だから
a∈N-f(a)となって
a∈f(a)に矛盾するから
a∈N-f(a)
だから
a∈{x|x∈N-f(x)}=f(a)
だから
a∈f(a)となって
a∈N-f(a)に矛盾するから
f(a)={x|x∈N-f(x)}
となるような
a
は存在しないから
全自然数の集合
N
から
すべての自然数の部分集合の集合
β(N)
への1対1対応全射写像
f
は
存在しない
自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられるということですか。少なくとも表に存在しない実数があると思うのですが。
No.10
- 回答日時:
自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません
自然数の部分集合
Sに対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
と対応させられるのです
f(φ)=0
f(N)=0.111…=1(2進数)
f({1})=0.1,(2進数)
f({2})=0.01,(2進数)
f({1,2})=0.11,(2進数)
f({3})=0.001,(2進数)
f({1,3})=0.101,(2進数)
…
と対応できるのです
この対応f は
β(N)から[0,1]=(0~1までの全ての実数)へ対応しているのです
(0,1)からRへの対応は
h(x)=tan(πx-π/2)
で対応できるのです
No.9
- 回答日時:
自然数の部分集合と実数は対応させられないとはいっていません
自然数の部分集合
Sに対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
と対応させられるのです
f(φ)=0
f({1})=0.1,(2進)
f({2})=0.01,(2進)
f({1,2})=0.11,(2進)
f({3})=0.001,(2進)
…
と対応できるのです
この対応f は
β(N)から[0,1]=(0~1までの全ての実数)へ対応しているのです
[0,1]からRへの対応は
h(x)=(1/π)arctan(x)+1/2
で対応できるのです
No.8
- 回答日時:
「自然数」や「実数」をどのようなものと考えるか, というすっごい困ったちゃんな話はあるのだが (例えば「『無限桁』の自然数」というものを認めてしまうと「それってなに?」というところから話をしないといけない), そういう「困ったちゃん」から全力で目をそらしていいなら「2^N と R の間の全単射」は
イメージ的には
とても簡単. 単に「0 と 1 の間の実数」の, 2進小数を持ち出せばいい.
とはいえ実はこれだと「全単射」にならず, そこを補正しようとすると (可能だけど) 面倒くさい.
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように実際に対応させてみることはできないということですね。そこは自然数と実数の対応
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
3 → 1.414213…
・
・
・
と同じなわけですね。
不思議なのは、
1 → ()
2 → (1,2,3…)
3 → (1)
4 → (1,2)
・
・
・
というように右が自然数の部分集合というとき、実数の場合のように、表に存在しない自然数の部分集合って存在するのかな、対角線論法が使えるわけでもないのにということです。
別に規則的に並べられなくても、右がすべての自然数の部分集合と仮定すればいいような。表に存在しない自然数の部分集合を具体的に例示できなければ、仮定を否定できないのではないでしょうか。
過去質
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13655137.html
に
3「すべての実数の集合が存在すると仮定する→対角線論法により(その集合の要素を並べると、そこに含まれない実数が現れるから)仮定は誤り=『すべての実数の集合』の要素を並べると、それがすべての実数の集合ではないことが判明するから、原理的にすべての実数の集合は存在しない」
と書いた通り、存在しないものとは対応させようがないけど、「すべての自然数の部分集合の集合」は存在するので、自然数と1対1に対応させられるんじゃないかな。
No.7
- 回答日時:
N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
J=(0,1)={x∈R|0<x<1}
K=[0,1]={x∈R|0≦x≦1}
とする
RからJ=(0,1)への写像
h:R→J=(0,1)
h(x)=(1/π)arctan(x)+1/2
と定義すると
hは全単射だから
|R|=|J|=|K|
β(N)からK=[0,1]への写像
f:β(N)→K=[0,1]
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/2^n
と
定義すると
fは全射だから
|K|≦|β(N)|
β(N)からRへの写像
f:β(N)→|K|
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/10^n
と
定義すると
fは単射だから
|β(N)|≦|K|
↓これと|K|≦|β(N)|から
|β(N)|=|K|
↓|R|=|K|だから
|β(N)|=|R|
Nからβ(N)への全射は存在しないから
|N|<|β(N)|=|R|
|N|<|R|
NからRへの全射は存在しない
No.6
- 回答日時:
N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする
β(N)からRへの写像
f:β(N)→R
S⊂N に対して
f(S)=Σ{n∈S}1/10^n
と
定義すると
(
例えば
f(φ)=0
f({1})=0.1
f({2})=0.01
f({1,2})=0.11
f({3})=0.001
…
)
fは単射になるから
β(N)の濃度はRの濃度以下
|β(N)|≦|R|
になる
Nからβ(N)への全射は存在しないから
|N|<|β(N)|≦|R|
|N|<|R|
NからRへの全射は存在しない
No.5
- 回答日時:
×
その並びの中には要素数無限の部分集合Bは存在しないから
×
N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする
Nからβ(N)への全射写像f があり
()・(1,2,3…)
(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・
(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・
(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・
というように規則的に並べることができたと仮定すると
そのとき
Nの各元aのfによる像f(a)はβ(N)の元,すなわちNの部分集合である
したがって
Nの任意の元aに対し,
a∈f(a) または a∈N-f(a)
のいずれか一方しかも一方だけが必ず成り立つ
いま,
a∈N-f(a)であるようなNの元a全体のつくるNの部分集合をBとする.すなわち
B={x|x∈N-f(x)}
任意のa∈Nに対して
a∈f(a) または a∈N-f(a)
のいずれかである
もし
a∈f(a) ならば a∈N-f(a)でないから a∈N-B となるから
a∈f(a)-B だから f(a)≠B
もし
a∈N-f(a) ならば a∈B となるから
a∈B-f(a) だから f(a)≠B
以上で
任意のa∈Nに対して
f(a)≠B
であることが証明された
そのfによって規則的に並べたという並びの中には
要素数無限の部分集合
B={x|x∈N-f(x)}
が存在しないから
×
fが全射であることに矛盾するから
∴
Nからβ(N)への(1対1対応)全単射は存在しない
×
(全は省略)自然数の部分集合の集合と実数はどうやって1対1に対応させるのでしょうか。
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
じゃだめなわけでしょ。無限には大小二種類しかないことが証明されてればあれだけど、中間の無限が存在しないことは証明されてないんですよね。
No.4
- 回答日時:
{1, 2, 3} の「部分集合」なら, 空集合や自分自身を忘れちゃダメだよ.
さておき, 例えば「β(N)って整列させられないんですか。」の「整列」ってどういう意味? 「整列」という言葉自体が
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97 …
のように特別な意味を含みうるということは理解できているんだよね?
なお任意の集合 X に対し X と 2^X の間に全単射が作れないことは (対角線論法で) 証明されている. もちろん「全単射が作れるんじゃね?」と思うのは勝手だが, それを表明するのであればせめて根拠 (らしきもの) は見せてもらいたい.
>空集合や自分自身を忘れちゃダメだよ
()と(1,2,3…)の二つが加わるだけでしょ。
>せめて根拠 (らしきもの) は見せてもらいたい.
「整列させられるなら、全自然数と全有理数の1対1対応と同じようにジグザグにというかうまく対応させていけばいいのではないでしょうか」って言ってますが。
()・(1,2,3…)
(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・
(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・
(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・
というように規則的に並べられるなら、ちょっと面倒なので具体的に書かないけど、全自然数と1対1に対応させられるのでは。あとこれは本題ではないので。
簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・
・
・
という表に
0.356343…
という実数は存在しない。○か✖か。
No.3
- 回答日時:
N=(全自然数の集合)
β(N)={S|S⊂N}=(Nのすべての部分集合の集合)=(Nの巾集合)
R=(全実数の集合)
とする
Nからβ(N)への1対1対応(全射)写像 f があると仮定すると
そのとき
Nの各元aのfによる像f(a)はβ(N)の元,すなわちNの部分集合である
したがって
Nの任意の元aに対し,
a∈f(a) または a∈N-f(a)
のいずれか一方しかも一方だけが必ず成り立つ
いま,
a∈N-f(a)であるようなNの元全体のつくるNの部分集合をBとする.すなわち
B={x|x∈N-f(x)}
任意のa∈Nに対して
a∈f(a) または a∈N-f(a)
のいずれかである
もし
a∈f(a) ならば a∈N-f(a)でないから a∈N-B となるから
a∈f(a)-B だから f(a)≠B
もし
a∈N-f(a) ならば a∈B となるから
a∈B-f(a) だから f(a)≠B
以上で
任意のa∈Nに対して
f(a)≠B
であることが証明された
から
fが全射であることに矛盾するから
∴
Nからβ(N)への(1対1対応)全単射は存在しない
簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
Nのすべての部分集合の集合は
()・(1,2,3…)
(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・
(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・
(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・
というように規則的に並べることができる。○か✖か。
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簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・
・
・
という表に
0.356343…
という実数は存在しない。○か✖か。
β(N)って整列させられないんですか。
例えば
(1,1)(1,2)(1,3)…
(2,2)(2,3)(2,4)…
・
・
・
(1,1,1)(1,1,2)(1,1,3)…
(1,2,2)(1,2,3)(1,2,4)…
・
・
・
みたいに。整列させられるなら、全自然数と全有理数の1対1対応と同じようにジグザグにというかうまく対応させていけばいいのではないでしょうか。
間違えました。
(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・
(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・
かな。自然数が1,2,3の三つだけとした場合、すべての部分集合の集合の要素は、(1)・(2)・(3)・(1,2)・(1,3)・(2,3)かな。有限の場合はすべての要素同士は1対1対応にならないけど、無限の場合は1対1対応になるのではないでしょうか。
訂正
簡潔に質問するので簡潔にお答えください。
Nのすべての部分集合の集合は
()・(1,2,3…)
(1)・(2)・(3)…
(1,2)・(1,3)・(1,4)…
(2,3)・(2,4)・(2,5)…
・
・
・
(1,2,3)・(1,2,4)・(1,2,5)…
(2,3,4)・(2,3,5)・(2,3,6)…
・
・
・
(1,2,3,4)・(1,2,3,5)・(1,2,3,6)…
(2,3,4,5)・(2,3,4,6)・(2,3,4,7)…
・
・
・
というように規則的に並べることができる。○か✖か。
整列できないかも。
(全は省略)自然数の部分集合の集合と実数はどうやって1対1に対応させるのでしょうか。
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
じゃだめなわけでしょ。無限には大小二種類しかないことが証明されてればあれだけど、中間の無限が存在しないことは証明されてないんですよね。
一番の疑問はダブルスタンダードってことかな。自然数と実数は
1 → 5.138924…
2 → 2.901877…
3 → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられないから対応させられないと言いながら、自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられなくても対応させられるって具合に。
自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられるということですか。少なくとも表に存在しない実数があると思うのですが。
これでいいなら自然数と実数も1対1に対応させられるのでは?
・
・
・
11 → 8.773193…
9 → 4.646104…
7 → 9.563623…
5 → 3.432335…
3 → 7.355038…
1 → 0.222086…
2 → 3.141592…
4 → 1.414213…
6 → 6.661922…
8 → 5.138924…
10 → 2.901877…
12 → 0.222555…
・
・
・
という表に
0.356343…
という実数は存在しない。○か✖か。
この質問には最後まで答えてもらえなかった。前回指摘できなかったことに思うところがあるのだろうか。とにかくこういう風に具体的に指摘してもらえれば理解できるのだが。
「どこの誰が
自然数の部分集合と実数は
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
というように対応させられない
って書いてるの? 具体的に, どこで誰がそう書いているのか, きちんと指摘してよ.」
という返しも変ではっきりしない。この場合は
「いいえ
() → 4.646104…
(1,2,3…) → 9.563623…
(1) → 3.432335…
(1,2) → 0.222555…
・
・
・
が、自然数の部分集合と実数の1対1対応の表です」と返すべき。