複素数平面について質問です。 点Zが原点Oを中心とする半径1の円上を動く時、 ω＝(6Z－1)/(3

複素数平面について質問です。
点Zが原点Oを中心とする半径1の円上を動く時、
ω＝(6Z－1)/(3Z－1)を満たす点ωがどのような図形を描くか、について、図形的に解くにはどうすればいいか教えて欲しいです。解は、ωは点17/8を中心とする半径3/8の円を描く、です。

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/27 09:29

No.1 補足。

1 + 0i, 2+0i を 3:1 で内分する点と外分する点が
円の中心を通る直線(実軸)と円との交点になります。

内分点は (1×(1+0i) + 2×(3+0i))/4 = 7/4 + 0i
外分点は (-1×(1+0i) + 2×(3+0i))/2 = 5/2 + 0i
円の中心はこの中点なので
((7/4+0i) + (5/2+0i))/2 = 17/8 + 0i
半径は (5/2 - 7/4)/2 = 3/8

この補足部分は「図形的」だと思うけど
1 + 0i, 2+0i　を図形的に導くのはまだちょっと
思いつかない。なんかありそうだけど・・・

この回答へのお礼

補足までありがとうございました！

お礼日時：2024/05/28 23:32

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/27 18:51

純粋に幾何的に解くというのはぼくもよくわからないが

ただひとついえることはｚが単位円周上を反時計回りに1周まわるとき
ωは結果の円周を時計回りに1周するということ、
これは複素数ベクトルの絶対値と偏角表示をつかうことで
説明できます。
言う必要もなかったか...笑

この回答へのお礼

頑張ってやってみます！ありがとうございました！

お礼日時：2024/05/28 23:34

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/26 23:51

計算じゃなくて、図形的にってことですよね？

ω = (6z - 1)/(3z - 1)
　= 2 + 1/(3z - 1).
この式をたどって、図形を変形していきます。

ｚ が原点を中心とする半径1の円を描くことから、
3z - 1 は -1 を中心とする半径 3 の円を描き、
1/(3z - 1) はそれを単位円で反転したものになる。
2 + 1/(3z - 1) は、それを更に実軸方向へ 2 平行移動した図形を描く。

円を単位円で反転する作図がちょっと難しいかな。
その点、｜ω-1｜：｜ω-2｜ = 3：1 に帰着する No.1 の説明はスマートだな。

この回答へのお礼

単位円を使うことでも解けるのですね、ありがとうございました！

お礼日時：2024/05/28 23:31

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/05/26 12:36

No.2さんと基本的には同じです。

ω-2＝1/(3z-1)からW=ω-2とおいて
W(3z-1)=1 3zW=1+W
いま、共役複素数を　*　で表わすことにすると、
3z*W*=1+W*これを上の式と辺々かけるとzz*＝1に注意して
9WW*=1+W+W*+WW*
8WW*-W-W=1
WW*-(1/8)W-(1/8)W*=1/8
これの両辺に(1/8)²をたすと
|W-1/8|²＝(3/8)²
|W-1/8|＝3/8、ここでW=ω-2とωにもどせば
|ω-17/8|＝3/8　です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/05/28 23:31

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/26 06:02

画像の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/05/28 23:31

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/05/25 18:11

式をZについてとくと

Z=(ω-1)/{3(ω-2)}
|Z|=|(ω-1)|/|{3(ω-2)}|=1
つまり点(1、0)、点(2、0)からの距離が3:1の点の集合がωの軌跡になります。

2点からの距離の比が一定の点の集まりは円になり、2点を通る直線が円を2等分することを知っていれば後は簡単ですよね。